[论文解读] On financial applications of the two-parameter Poisson-Dirichlet distribution

Sergey Sosnovskiy|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出将两参数狄利克雷-泊松（PD(α,θ)）分布用作股票市场资本分布曲线的概率组合模型。通过将市场视为投资资本的随机划分，PD(α,θ)分布利用其无限维结构及关联的扩散过程，捕捉了排名市场权重的稳定、幂律样形状，实证拟合在主要全球交易所及标普500回撤中均表现出高度一致性。

ABSTRACT

Capital distribution curve is defined as log-log plot of normalized stock capitalizations ranked in descending order. The curve displays remarkable stability over periods of time. Theory of exchangeable distributions on set partitions, developed for purposes of mathematical genetics and recently applied in non-parametric Bayesian statistics, provides probabilistic-combinatorial approach for analysis and modeling of the capital distribution curve. Framework of the two-parameter Poisson-Dirichlet distribution contains rich set of methods and tools, including infinite-dimensional diffusion process. The purpose of this note is to introduce framework of exchangeable distributions on partitions in the financial context. In particular, it is shown that averaged samples from the Poisson-Dirichlet distribution provide approximation to the capital distribution curves in equity markets. This suggests that the two-parameter model can be employed for modelling evolution of market weights and prices fluctuating in stochastic equilibrium.

研究动机与目标

• 将概率论中的划分结构引入金融建模，特别是用于股票市场动态。
• 解决传统模型（如MPT和CAPM）无法解释的长期和跨市场资本分布曲线稳定性的经验观察。
• 提出两参数狄利克雷-泊松分布是随机均衡下排名市场权重的自然平稳分布。
• 实证表明，PD(α,θ)分布能对多个全球股票交易所的观测资本分布曲线提供统计上稳健的拟合。
• 建议市场权重的随机演化可通过保持PD(α,θ)分布为均衡测度的扩散过程进行建模。

提出的方法

• 将股票市场建模为投资资本的随机划分，其中个股市值对应于划分中的块大小。
• 应用两参数狄利克雷-泊松分布（PD(α,θ)）作为无限单纯形中排名市场权重的极限分布。
• 使用大小加权的棒棒糖构造法生成PD(α,θ)分布的样本，以供与实证数据比较。
• 构建一种在划分上的马尔可夫链，其上下跃迁在各层级上保持一致，从而导出一个以PD(α,θ)为唯一平稳分布的可逆扩散过程。
• 使用最小二乘估计法将PD(α,θ)模型拟合到观测的资本分布曲线，以确定最优参数α和θ。
• 将该框架扩展至建模标普500指数的归一化日回撤，显示PD(α,θ)能良好拟合相对回撤的实证分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 两参数狄利克雷-泊松分布能否有效建模不同股票市场和时间段内观测到的资本分布曲线的稳定性？
• RQ2 支撑排名市场权重对数-对数图长期稳定性的潜在概率机制是什么？
• RQ3 PD(α,θ)分布对主要全球股票交易所的实际排名市值数据的拟合程度如何？
• RQ4 PD(α,θ)分布是否也能用于建模其他金融现象，例如主要指数的相对回撤分布？
• RQ5 是否存在一种保持PD(α,θ)分布的随机过程，从而可作为市场权重在随机均衡下演化的模型？

主要发现

• 两参数狄利克雷-泊松分布对包括纽约证券交易所、纳斯达克、日本、欧洲证券交易所、香港等在内的主要股票交易所的资本分布曲线提供了强有力的实证拟合，2014年11月全球交易所的最优参数为（α=0.44，θ=18）。
• 该模型对标普500指数中相对市场权重的分布具有良好的拟合效果，参数θ=80和α=0.24能有效拟合1950年至2014年期间的归一化日回撤数据。
• 支持PD(α,θ)分布近似于股票市场中潜在划分结构的平稳分布的假设。
• 该框架表明，排名市场权重的随机演化可由保持PD(α,θ)分布为均衡测度的扩散过程进行建模。
• 该模型通过交换划分结构的组合与概率特性（特别是无限维结构及各层级间的一致性）解释了资本分布曲线的稳定性。
• 大小加权的棒棒糖构造法为从PD(α,θ)分布中高效抽样提供了方法，使模型在实际中可实现，并能与实证数据进行比较。