[论文解读] On finiteness properties of polynomial functors

Aurélien Djament|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文研究了有限性性质——特别是诺特性、克鲁尔维数，以及有限表示性的变体——在从具有初始单位的小型对称张量范畴到阿贝尔范畴的多项式函子范畴中的表现。研究证明，从带有分裂单射的自由阿贝尔群范畴到阿贝尔群范畴的弱多项式函子范畴‘几乎’是局部诺特的，其关键应用涉及自由群自同构相关的函子。

ABSTRACT

We study finiteness properties, especially the noetherian property, the Krull dimension and a variation of finite presentation, in categories of polynomial functors from a small symmetric monoidal category whose unit is an initial object to an abelian category (notion introduced in this general setting in the work http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00851869 joint with C. Vespa). We give also an application to functors related to automorphisms of free groups.

研究动机与目标

• 分析从具有初始单位的小型对称张量范畴到阿贝尔范畴的多项式函子范畴中的有限性性质——诺特性、克鲁尔维数，以及有限表示性的变体。
• 将已知的 FI-模（从有限集与单射构成的范畴）中的诺特性结果推广到更复杂的范畴，如带有分裂单射的自由阿贝尔群范畴。
• 针对标准多项式函子在 Z^n 情况下不满足诺特性的问题，引入较弱的‘几乎诺特’条件以应对。
• 将结果应用于同余子群的同调以及自由群 IA-自同构相关的函子。
• 开发涉及商范畴与截面函子的导出函子的技术工具，以处理有限生成函子上移位函子的非稳定性行为。

提出的方法

• 引入弱多项式函子的概念，定义为在多项式函子的商范畴中的像为多项式函子的函子，以克服强多项式函子在子函子下不稳定的缺陷。
• 利用商范畴构造，将弱多项式函子的研究简化为在更易处理的设定下研究多项式函子。
• 采用对多项式函子次数的递归嵌套归纳法，借助 [9] 中关于埃尔米特范畴上多项式函子结构的结果。
• 应用一个关键技术工具：存在从商范畴到原范畴的截面函子，且其同调性质受控。
• 利用具有有限支撑的函子概念，以规避移位函子在函子范畴中不保持有限生成性的问题。
• 应用关于格罗滕迪克范畴与局部诺特范畴的结果，推导出弱多项式函子范畴的结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从具有初始单位的对称张量范畴到阿贝尔范畴的弱多项式函子范畴是局部诺特的？
• RQ2 为何从带有分裂单射的自由阿贝尔群范畴到阿贝尔范畴的弱多项式函子范畴不是局部诺特的？它满足何种较弱的有限性性质？
• RQ3 如何将多项式函子理论推广到非由有限型投射对象生成的范畴，如带有分裂单射的自由阿贝尔群范畴？
• RQ4 商范畴构造在稳定多项式函子的有限性性质中起到何种作用？
• RQ5 能否通过有限生成的弱多项式函子研究自由群自同构群的同调？会引出何种有限性约束？

主要发现

• 对于有限环 A，从 S(A) 到局部诺特格罗滕迪克范畴的弱多项式函子范畴是局部诺特的。
• 对于 A = Z，从 S(Z) 到局部诺特格罗滕迪克范畴的弱多项式函子范畴是‘几乎’局部诺特的，即由几乎诺特函子生成。
• 函子 F: S(Z) → A 是几乎诺特的，当且仅当其在自由阿贝尔群秩 ≥ n 的全子范畴上的限制是诺特的（对某个 n）。
• 弱多项式函子范畴 S(Z) → Ab 不是局部诺特的，因为当 n ≥ 2 时，群环 Z[GL_n(Z)] 不是诺特的。
• 在映射 F → A 中，F(V) = V* ⊗ V ⊗ V 且 A(V) = V，其核是一个次数为 3 的完美多项式函子，但无法由截面函子 η 的像中的函子通过扩张构造得到，表明通过扩张的饱和无法捕捉所有完美多项式函子。
• 从商范畴到原范畴的截面函子的导出函子满足一个关键同调性质，这对证明‘几乎诺特’结果至关重要。