[论文解读] The representation theory of finite sets and correspondences

Serge Bouc, Jacques Thévenaz|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文发展了对应函子——从有限集与对应关系到交换环 k 上模的函子——的表示理论。在域上，函子是有限生成的当且仅当其在集合大小上的取值呈指数增长，并证明此类函子具有有限长度；进一步通过分配格刻画了投影性，并利用格构造对简单函子进行了分类。

ABSTRACT

We investigate correspondence functors, namely the functors from the category of finite sets and correspondences to the category of $k$-modules, where $k$ is a commutative ring.They have various specific properties which do not hold for other types of functors.In particular, if $k$ is a field and if $F$ is a correspondence functor, then $F$ is finitely generated if and only if the dimension of $F(X)$ grows exponentially in terms of the cardinality of the finite set $X$. In such a case, $F$ has finite length. Also, if $k$ is noetherian, then any subfunctor of a finitely generated functor is finitely generated. When $k$ is a field, we give a description of all the simple functors and we determine the dimension of their evaluations at any finite set.A main tool is the construction of a functor associated to any finite lattice $T$. We prove for instance that this functor is projective if and only if the lattice $T$ is distributive. Moreover, it has quotients which play a crucial role in the analysis of simple functors. The special case of total orders yields some more specific results. Several other properties are also discussed, such as projectivity, duality, and symmetry.In an appendix, all the lattices associated to a given poset are described.

研究动机与目标

• 发展有限集与对应关系范畴上函子的全面表示理论。
• 通过其取值的指数增长，刻画域上有限生成对应函子的性质。
• 对所有简单函子进行分类，并确定其在任意有限集上的维数。
• 利用格论准则，建立此类函子为投影函子的条件。
• 探索在诺特环上，对偶性、对称性以及子函子有限性等结构性质。

提出的方法

• 为任一有限格 T 构造一个函子，该函子作为分析对应函子结构的核心工具。
• 证明所构造的函子是投影函子当且仅当格 T 是分配格。
• 利用与格相关的函子的商函子来分析并分类简单函子。
• 分析全序的特殊情况，以获得更具体的结构性结果。
• 应用对偶性与对称性原理，理解对应函子的结构性不变量。
• 在附录中描述与给定偏序集相关的所有格，为函子分类提供基础工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 在域上，何种条件可确保对应函子是有限生成的？
• RQ2 F(X) 关于 |X| 的增长速率如何与 F 的有限生成性及有限长度相关？
• RQ3 与有限格 T 关联的函子在何种情况下是投影函子？
• RQ4 简单对应函子的完整分类是什么？其在每个有限集上的维数是多少？
• RQ5 在 k 为诺特环时，有限生成函子的子函子在何种条件下自身也是有限生成的？

主要发现

• 当 k 为域时，对应函子 F 是有限生成的当且仅当 dim_k F(X) 随 |X| 呈指数增长。
• 当 k 为域且 F 有限生成时，F 作为取值于 k-模的函子具有有限长度。
• 与有限格 T 关联的函子是投影函子当且仅当 T 是分配格。
• 通过格相关函子的商函子，完全分类了简单函子，且其在任意有限集上的取值维数可明确确定。
• 当 k 为诺特环时，有限生成对应函子的每个子函子自身也是有限生成的。
• 附录完整描述了与给定偏序集相关的所有格，为函子分类提供了支持。