[论文解读] On Flow Equivalence of Sofic Shifts

Rune Johansen|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用 3

一句话总结

本博士论文通过其图覆盖的结构性质，研究了Sofic移位的流等价性。论文引入了一种广义左Fischer覆盖的典范覆盖，证明了Krieger覆盖与过去集覆盖中的分层结构，并将其应用于在流等价性下对beta移位进行分类，以及分析有限型更新系统中Bowen-Franks不变量的取值范围。

ABSTRACT

The flow equivalence of sofic shifts is examined using results about the structure of the corresponding covers. A canonical cover generalising the left Fischer cover to arbitrary sofic shifts is introduced and used to prove that the left Krieger cover and the past set cover of a sofic shift can be divided into natural layers. These results are used to find the range of a flow invariant and to investigate the ideal structure of the universal C^*-algebras associated to sofic shifts. The right Fischer covers of sofic beta-shifts are constructed, and it is proved that the covering maps are always 2 to 1. This is used to construct the corresponding fiber product covers and to classify these up to flow equivalence. Additionally, the flow equivalence of renewal systems is studied, and several partial results are obtained in an attempt to find the range of the Bowen-Franks invariant over the set of renewal systems of finite type. In particular, it is shown that the Bowen-Franks group is cyclic for every member of a class of renewal systems known to attain all entropies realised by shifts of finite type.

研究动机与目标

• 理解Sofic移位的流等价性，这是有限型移位的一种自然推广。
• 开发结构性工具——特别是典范覆盖——以分析Sofic移位的覆盖结构。
• 对Sofic beta移位的右Fischer覆盖进行分类，并确定其流等价性。
• 研究有限型更新系统中Bowen-Franks不变量的取值范围。
• 探索与Sofic移位相关联的普遍C*-代数的理想结构。

提出的方法

• 引入一种典范覆盖，该覆盖广义化了任意Sofic移位的左Fischer覆盖。
• 利用典范覆盖将左Krieger覆盖与过去集覆盖分解为自然的层次结构。
• 应用层次分解以分析流不变量及C*-代数中的理想格。
• 为Sofic beta移位构造右Fischer覆盖，并证明覆盖映射始终为2对1。
• 使用纤维积覆盖对beta移位在流等价性下进行分类。
• 采用符号展开技术及计算工具（C++与Maple）分析高阶块移位及有限型更新系统的邻接矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sofic移位的左Krieger覆盖与过去集覆盖的结构如何？能否将其分解为自然的层次？
• RQ2 典范覆盖如何用于确定流等价性不变量的取值范围？
• RQ3 Sofic beta移位的流等价类是什么？其右Fischer覆盖行为如何？
• RQ4 有限型更新系统的Bowen-Franks群的结构如何？其是否可能非循环？
• RQ5 SFT更新系统上Bowen-Franks不变量的取值范围能否被完全刻画？

主要发现

• 典范覆盖广义化了左Fischer覆盖，并使得左Krieger覆盖与过去集覆盖能够实现自然的层次分解。
• Sofic beta移位的右Fischer覆盖始终为2对1，从而可构造纤维积覆盖。
• 通过其纤维积覆盖，Sofic beta移位在流等价性下得以分类。
• 对于一类实现所有有限型移位熵的更新系统，Bowen-Franks群是循环的。
• 通过基列表的不相交并构造的更新系统可能产生非循环的Bowen-Franks群，例如 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$。
• 基于命题5.23的计算工具可检测SFT更新系统，但受限于条件的充分性而非必要性。