[论文解读] On formality of Kahler orbifolds and Sasakian manifolds

Indranil Biswas, Marisa Fernández+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文证明了紧致凯勒轨道丛是形式的，从而对塞萨克ian流形产生了关键的拓扑推论。它确立了在单连通塞萨克ian流形上所有高阶梅西产品都为零，证明了这些产品会阻碍塞萨克ian结构的存在，并通过非零三重梅西产品构造了维度为 2n+1（n > 2）的首个单连通非形式正规塞萨克ian流形的例子。

ABSTRACT

We prove that compact Kahler orbifolds are formal, and derive applications of it to the topology of compact Sasakian manifolds. In particular, answering questions raised by Boyer and Galicki, we prove that all higher Massey products on any simply connected Sasakian manifold vanish. Hence, higher Massey products do obstruct Sasakian structures. Using this we produce a method of constructing simply connected K-contact non-Sasakian manifolds. On the other hand, for every n>2 we exhibit the first examples of simply connected compact regular Sasakian manifolds of dimension 2n+1 which are non-formal. They are non-formal because they have a non-zero triple Massey product. We also prove that arithmetic lattices in some simple Lie groups cannot be the fundamental group of a compact Sasakian manifold.

研究动机与目标

• 确立紧致凯勒轨道丛的形式性，并将其影响扩展至塞萨克ian几何。
• 通过解决博耶和加利基关于梅西产品在塞萨克ian结构中作用的开放问题。
• 利用形式性障碍构造单连通K-接触但非塞萨克ian的流形。
• 产生首个单连通紧致正规塞萨克ian流形的例子，其为非形式的，具体原因在于非零的三重梅西产品。
• 确定哪些在单李群中的算术晶格不能作为紧致塞萨克ian流形的基本群。

提出的方法

• 利用有理同伦论中的形式性理论来分析紧致凯勒轨道丛的上同调环结构。
• 将凯勒轨道丛的形式性应用于推导紧致塞萨克ian流形上同调的约束条件。
• 利用非零三重梅西产品的存在作为形式性的障碍，构造了在奇数维 2n+1（n > 2）中的非形式塞萨克ian流形。
• 利用形式性意味着所有高阶梅西产品消失的事实，表明非零梅西产品会阻碍塞萨克ian结构的存在。
• 应用几何群论和单李群中算术晶格的结果，排除某些群作为紧致塞萨克ian流形基本群的可能性。
• 结合复几何、接触拓扑与有理同伦论的技术，分析凯勒、塞萨克ian与K-接触结构之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单连通塞萨克ian流形上，高阶梅西产品是否为零？若为零，这是否意味着形式性或阻碍此类结构的存在？
• RQ2 能否在奇数维 2n+1（n > 2）中构造非形式的紧致塞萨克ian流形？哪些上同调不变量可检测其非形式性？
• RQ3 凯勒轨道丛的形式性是否可用于构造单连通但非塞萨克ian的K-接触流形？
• RQ4 哪些在单李群中的算术晶格不能作为紧致塞萨克ian流形的基本群？
• RQ5 梅西产品在阻碍塞萨克ian结构中起什么作用？在凯勒轨道丛的语境下，它们与形式性有何关联？

主要发现

• 在任意单连通塞萨克ian流形上，所有高阶梅西产品都为零，确认这些产品会阻碍塞萨克ian结构的存在。
• 构造了首个维度为 2n+1（n > 2）的单连通紧致正规塞萨克ian流形的例子，其为非形式的，原因在于非零的三重梅西产品。
• 提供了一种方法，通过利用梅西产品引起的形式性障碍，来构造单连通但非塞萨克ian的K-接触流形。
• 通过上同调障碍表明，某些单李群中的算术晶格不能作为任何紧致塞萨克ian流形的基本群。
• 证明了紧致凯勒轨道丛是形式的，将光滑凯勒流形的形式性结果推广到了轨道丛情形。
• 三重梅西产品的非零性作为决定性不变量，可明确区分非形式塞萨克ian流形与形式流形。