[论文解读] On fractional powers of Bessel operators

Elina Shishkina, С. М. Ситник|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Differential Equations and Boundary Problems被引用 19

一句话总结

本文提出了贝塞尔微分算子 $ B_{\nu} = D^2 + \frac{\nu}{x}D $ 的分数阶幂的显式积分表示，避免依赖汉克尔变换或梅林变换等积分变换。文章建立了若干关键性质，包括群结构、基于超几何函数的广义泰勒公式，以及与 Wright 和梅特莱夫函数的联系，为分数阶微积分和偏微分方程的进一步推广奠定了基础。

ABSTRACT

This paper was published in the special issue of the Journal of Inequalities and Special Functions dedicated to Professor Ivan Dimovski's contributions to different fields of mathematics: transmutation theory, special functions, integral transforms, function theory etc. In this paper we study fractional powers of the Bessel differential operator. The fractional powers are defined explicitly in the integral form without use of integral transforms in its definitions. Some general properties of the fractional powers of the Bessel differential operator are proved and some are listed. Among them are different variations of definitions, relations with the Mellin and Hankel transforms, group property, generalized Taylor formula with Bessel operators, evaluation of resolvent integral operator in terms of the Wright or generalized Mittag--Leffler functions. At the end, some topics are indicated for further study and possible generalizations. Also the aim of the paper is to attract attention and give references to not widely known results on fractional powers of the Bessel differential operator.

研究动机与目标

• 提供贝塞尔微分算子 $ B_{\nu} $ 的分数阶幂的显式、无需变换的积分定义，克服依赖汉克尔变换的隐式定义的局限性。
• 通过采用标准记号和显式积分形式，统一并扩展现有的分数阶微积分框架。
• 建立群结构、通过 Wright 和梅特莱夫函数计算预解算子、广义泰勒展开等基础性质。
• 突出被忽视的重要结果，并提供全面的参考文献，以促进关于分数阶贝塞尔算子及其应用的进一步研究。
• 通过显式核表示，使新应用在偏微分方程、转位理论和可交换微分算子中成为可能。

提出的方法

• 利用高斯超几何函数 $ {}_2F_1 $ 作为核，定义右向和左向的分数阶贝塞尔积分 $ B_{\nu,b-}^{-\alpha} $ 和 $ B_{\nu,a+}^{-\alpha} $。
• 通过如下形式构造 $ B_{\nu} $ 的分数阶幂的显式积分算子：$ \frac{1}{\Gamma(2\alpha)} \int_{x}^{b} \left( \frac{y^2 - x^2}{2y} \right)^{2\alpha-1} {}_2F_1(\cdots) f(y) \, dy $，适用于 $ \alpha > 0 $。
• 利用 [7] 和 [13]–[14] 中已知的积分表示，将定义与经典分数阶微积分记号统一。
• 通过在边界点处表达 $ B^{i-1}f $ 和 $ DB^{i-1}f $ 的函数展开，建立广义泰勒公式，余项以分数阶积分形式表示。
• 通过积分核分析，将预解算子与 Wright 函数和广义梅特莱夫函数联系起来。
• 将结果推广至相关算子，如 Clifford 型贝塞尔算子 $ C_\nu $，并讨论其与转位理论及可交换微分算子的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖积分变换的前提下，显式定义贝塞尔算子 $ B_{\nu} $ 的分数阶幂？
• RQ2 分数阶贝塞尔算子的幂满足哪些群性质和结构恒等式？
• RQ3 如何利用贝塞尔算子替代导数，构造包含分数阶积分余项的广义泰勒展开？
• RQ4 贝塞尔算子 $ B_{\nu} $ 的预解算子与 Wright 函数或广义梅特莱夫函数之间存在何种联系？
• RQ5 显式分数阶贝塞尔算子在何种方式下可推广至高阶或混合型微分算子？它们与现有分数阶偏微分方程有何关系？

主要发现

• 贝塞尔算子 $ B_{\nu} $ 的分数阶幂通过涉及高斯超几何函数的积分核显式定义，避免了对汉克尔或梅林变换的依赖。
• 广义泰勒公式（定理 8.1）将函数表示为在边界点处对 $ B^{i-1}f $ 和 $ DB^{i-1}f $ 的有限项求和，加上余项 $ B_{\nu,b-}^{-k}(B^k f) $，系数以超几何函数形式给出。
• 对于 Clifford 型贝塞尔算子 $ C_\nu $，推导出类似的广义泰勒公式（定理 8.2），其中包含涉及 $ x^{-\nu} $ 和导数的附加项。
• 通过 Wright 或广义梅特莱夫函数表达 $ B_{\nu} $ 的预解算子，建立了其与分数阶微积分中特殊函数的直接联系。
• 当 $ \nu = 1 $ 时，核简化为经典勒让德函数；当 $ \alpha = -\frac{1}{2} $ 时，分数阶幂产生广义椭圆函数，从而可显式定义贝塞尔 Riesz 变换。
• 该框架可推广至分数阶贝塞尔算子的和，包括椭圆、双曲和超双曲情形下的 B–Riesz 位势，并支持新类转位算子及量子力学中可交换微分算子的构造。