[论文解读] On fractional powers of the Bessel operator on a semiaxis

С. М. Ситник, Elina Shishkina|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文通过涉及勒让德函数和梅林变换的积分表示，引入并分析了半轴上贝塞尔微分算子的分数阶幂。它建立了与利乌ville和萨伊戈分数阶积分的联系，证明了半群性质，并推导出显式的核表示，为求解含分数阶贝塞尔算子的微分方程提供了新框架。

ABSTRACT

In this paper we study fractional powers of the Bessel differential operator defined on a semiaxis. Some important properties of such fractional powers of the Bessel differential operator are proved. They include connections with Legendre functions for kernel representations, fractional integral operators of Liouville and Saigo, Mellin transform and index laws. Possible applications are indicated to differential equations with fractional powers of the Bessel differential operator.

研究动机与目标

• 为正实轴上奇异贝塞尔微分算子的分数阶幂建立严格的框架。
• 建立分数阶贝塞尔算子与已知分数阶积分算子（如利乌ville和萨伊戈）之间的联系。
• 利用勒让德函数推导显式的核表示，将三参数超几何函数简化为两参数形式。
• 在特定参数范围内证明基本性质，如半群律和左逆行为。
• 为求解涉及贝塞尔算子分数阶幂的微分方程提供基础。

提出的方法

• 通过依赖于贝塞尔阶数 ν 和分数阶 α 的高斯超几何函数的积分表示，推导分数阶贝塞尔积分算子。
• 利用超几何函数与配属勒让德函数之间的关系，应用变换将核重写为第一类勒让德函数的形式。
• 使用梅林变换分析算子的行为并推导其变换对。
• 通过已知的超几何恒等式简化核，在 ν = 0 时证明算子等价于利乌ville分数阶积分。
• 通过变量替换 y² = t 将算子与萨伊戈积分算子关联，识别萨伊戈公式中的对应参数。
• 利用复合规则和积分恒等式，证明分数阶贝塞尔算子的半群性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用特殊函数表示半轴上贝塞尔算子的分数阶幂？
• RQ2 分数阶贝塞尔算子与经典分数阶积分算子（如利乌ville和萨伊戈）之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，分数阶贝塞尔算子对原贝塞尔算子起到左逆作用？
• RQ4 分数阶贝塞尔积分算子的梅林变换是什么？
• RQ5 分数阶贝塞尔算子是否满足复合运算的半群性质？

主要发现

• 当 ν = 0 时，分数阶贝塞尔积分算子退化为利乌ville分数阶积分，确认其与经典分数阶微积分的一致性。
• 分数阶贝塞尔算子的核通过配属勒让德函数显式重写，将三参数超几何函数简化为两参数形式。
• 通过变量替换，该算子被识别为萨伊戈分数阶积分的特例，建立了与广义分数阶微积分的直接联系。
• 证明了分数阶贝塞尔算子的半群性质，即在适当条件下有 (B_{ν,-}^{-α} ∘ B_{ν,-}^{-β})f = B_{ν,-}^{-(α+β)}f。
• 推导出分数阶贝塞尔积分算子的梅林变换，使其在调和分析和积分方程中可进一步分析。
• 当 ν > 0 且 α = 1 时，算子 B_{ν,-}^{-1} 在 g 和 g' 在无穷远处趋于零的条件下，对贝塞尔算子 B_ν 起到左逆作用，确认了在所考虑函数空间中的可逆性。