[论文解读] On fully decoupled MSAV schemes for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes model of Two-Phase Incompressible Flows

Xiaoli Li, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2020

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 29被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种基于多标量辅助变量（MSAV）方法与压力修正法的Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统的一阶和二阶全解耦、线性且无条件能量稳定的全时间离散格式。该格式被证明具有最优收敛率，误差估计最优，且在每一步时间推进中仅需求解具有常系数的椭圆方程。

ABSTRACT

We construct first- and second-order time discretization schemes for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system based on the multiple scalar auxiliary variables approach (MSAV) approach for gradient systems and (rotational) pressure-correction for Navier-Stokes equations. These schemes are linear, fully decoupled, unconditionally energy stable, and only require solving a sequence of elliptic equations with constant coefficients at each time step. We carry out a rigorous error analysis for the first-order scheme, establishing optimal convergence rate for all relevant functions in different norms. We also provide numerical experiments to verify our theoretical results.

研究动机与目标

• 为Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统开发无条件能量稳定、线性且全解耦的时间离散格式。
• 克服现有方法中凸 splitting 方法（非线性问题）与稳定化线性格式（精度与稳定性问题）的局限性。
• 为一阶格式建立严格的误差估计，实现在相关范数下的最优收敛速率。
• 确保每一步时间推进中仅需求解具有常系数的椭圆方程，从而实现高效计算。

提出的方法

• 采用多标量辅助变量（MSAV）方法重构梯度系统，实现线性且能量稳定的格式。
• 将MSAV框架与旋转压力修正法结合，用于Navier-Stokes方程，以实现速度与压力更新的解耦。
• 构建一阶与二阶时间离散格式，确保其全解耦、线性且无条件能量稳定。
• 利用MSAV方法显式处理非线性化学势与相场项，避免非线性方程的求解。
• 确保每一步时间推进中的所有线性系统均涉及常系数算子，从而支持高效迭代求解器。
• 应用离散Gronwall引理与能量估计，推导收敛误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统构造出全解耦、线性且无条件能量稳定的全时间离散格式？
• RQ2 所提出的基于MSAV的格式是否对所有解分量均实现最优收敛速率？
• RQ3 该格式能否在避免非线性求解的同时，保持无条件能量稳定性和高阶精度？
• RQ4 尽管原始系统存在非线性耦合，是否仍能严格推导出该格式的误差估计？
• RQ5 该格式中常系数椭圆方程的求解对计算效率与稳定性有何影响？

主要发现

• 一阶MSAV格式在速度、压力、相场函数与化学势的所有变量上，均实现了$ L^2 $与$ H^1 $范数下的最优收敛速率。
• 该格式具有无条件能量稳定性，离散能量在每一步时间推进中均耗散，与连续能量定律一致。
• 二阶格式同样全解耦且无条件能量稳定，将该框架扩展至更高阶精度。
• 每一步时间推进中的所有线性系统仅涉及常系数椭圆算子，可通过快速求解器高效求解。
• 误差分析建立了在适当范数下一阶格式误差界为$ O( au) $的最优误差估计。
• 数值实验验证了理论收敛速率与能量稳定性，证实了理论结论的正确性。