[论文解读] On general construct of chaotic unbounded linear operators in Banach Spaces with Schauder Bases

Marat V. Markin|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一类在具有Schauder基的Banach空间中构造混沌无界线性算子的一般方法，将Rolewicz的加权后移算子推广至无穷维情形。通过定义满足特定衰减条件的指数权重的加权后移算子，作者证明该算子既具有超循环性又具有混沌性，将此前在 $ l_p $ 和 $ c_0 $ 空间中的结果推广至任意具有Schauder基的Banach空间。

ABSTRACT

We utilize the idea underlying the construct of the classical weighted backward shift Rolewicz's operators to furnish a straightforward approach to a general construct of chaotic unbounded linear operators in a (real or complex) Banach space with a Schauder basis.

研究动机与目标

• 将超循环性与混沌性的理论从有界算子推广至具有Schauder基的Banach空间中的无界线性算子。
• 将Rolewicz的经典加权后移算子例子推广至一般Banach空间中具有Schauder基的无界算子。
• 建立此类无界算子同时具有超循环性与混沌性的充分条件。
• 证明周期点的集合在空间中稠密，从而确认混沌性。
• 统一并推广现有在 $ l_p $ 和 $ c_0 $ 空间中关于超循环与混沌算子的研究成果。

提出的方法

• 在具有Schauder基的Banach空间 $ X $ 上，通过满足 $ |w_n| > 1 $ 且 $ \sum_{n=1}^\infty |w_n|^{-1} < \infty $ 的权重序列 $ \{w_n\} $ 定义一个加权后移算子 $ A $。
• 通过 $ Ax = (w_k x_{k+1})_{k\in\mathbb{N}} $ 构造算子，其定义域为 $ D(A) = \{ x \in X \mid (w_k x_{k+1}) \in X \} $。
• 利用Schauder展开的收敛性与 $ |w_n|^{-1} $ 的衰减性，确保一个精心选取的向量的轨道在 $ X $ 中稠密。
• 通过估计级数尾部的误差，证明特定向量 $ x \in C^\infty(A) $ 的轨道稠密，从而证明超循环性。
• 通过构造任意周期 $ N $ 的周期点，并利用可数稠密子集 $ Y $ 的逼近方法，证明周期点集合在 $ X $ 中稠密，从而证明混沌性。
• 利用 $ A^n $ 的闭性与Schauder基的结构，确保 $ x \in D(A^n) $ 且 $ A^n x \to x $ 在范数意义下收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将经典超循环加权后移算子的构造推广至任意具有Schauder基的Banach空间中的无界线性算子？
• RQ2 在何种权重序列条件下，可保证此类空间中无界算子的超循环性与混沌性？
• RQ3 是否可能在非同构于 $ l_p $ 或 $ c_0 $ 的具有Schauder基的Banach空间中构造出混沌无界线性算子？
• RQ4 在该一般设定下，如何建立无界算子周期点的稠密性？
• RQ5 对于指数权重序列 $ w_n = \lambda^n $ 且 $ |\lambda| > 1 $ 的情形，是否在任意具有Schauder基的Banach空间中均能构造出混沌无界算子？

主要发现

• 只要权重序列满足 $ \sum_{n=1}^\infty |w_n|^{-1} < \infty $ 且 $ |w_n| > 1 $，所构造的无界加权后移算子在任意具有Schauder基的Banach空间中均为超循环算子。
• 该算子具有混沌性，因为其周期点集合在Banach空间中稠密，此结论通过在可数稠密子集 $ Y $ 上逼近任意向量并利用周期点序列实现。
• 对于指数权重 $ w_n = \lambda^n $ 且 $ |\lambda| > 1 $ 的情形，算子 $ Ax = (\lambda^k x_{k+1})_{k\in\mathbb{N}} $ 在 $ l_p $（$ 1 \leq p < \infty $）和 $ c_0 $ 上均为混沌算子，从而恢复并强化了先前工作中定理1.1的结果。
• 通过Schauder基与权重序列构造的向量 $ x \in C^\infty(A) $ 确保其轨道 $ \{A^n x\}_{n\in\mathbb{Z}_+} $ 在 $ X $ 中稠密，从而证明了超循环性。
• 证明依赖于对级数尾部 $ \sum_{j=m+1}^\infty B^{n_j - n_m} y^{(j)} $ 的估计，证明其收敛且当 $ m \to \infty $ 时趋于零，从而推出轨道的稠密性。
• 该构造具有普遍性，适用于所有具有Schauder基的可分Banach空间，包括 $ L_p(a,b) $、$ C[a,b] $、$ l_p $、$ c_0 $、$ c $，展现出广泛的应用潜力。