[论文解读] On general skew Brownian motions

Liping Li|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文研究了广义偏斜布朗运动作为由局部时驱动的随机微分方程的弱解，采用狄利克雷型式和福克斯的分解方法。它建立了关于符号测度 $\mu$ 的存在性必要与充分条件，刻画了路径唯一性，并确定了不可约性与分布等价性的准则，将经典偏斜布朗运动推广至具有局部时漂移的一般测度。

ABSTRACT

The aim of this paper is two-fold. On one hand, we will study the distorted Brownian motion on $\mathbb{R}$, i.e. the diffusion process $X$ associated with a regular and strongly local Dirichlet form obtained by the closure of $\mathscr{E}(f,g)=\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} f'(x)g'(x)ρ(x)dx$ for $f,g\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ on $L^2(\mathbb{R}, \mathfrak{m})$, where $\mathfrak{m}(dx)=ρ(x)dx$ and $ρ$ is a certain positive function. After figuring out the irreducible decomposition of $X$, we will present a characterization of that $X$ becomes a semi-martingale by virtue of so-called Fukushima's decomposition. Meanwhile, it is also called a general skew Brownian motion, which turns out to be a weak solution to the stochastic differential equation with certain $μ$: \[ dY_t=dW_t+\int_\mathbb{R}μ(dz) dL^z_t(Y),\quad (*) \] where $(W_t)_{t\geq 0}$ is a standard Brownian motion and $(L^z_t(Y))_{t\geq 0}$ is the symmetric semi-martingale local time of the unknown semi-martingale $Y$ at $z$. On the other hand, the stochastic differential equation (*) will be considered further. The main purpose is to find the conditions on $μ$ equivalent to that there exist general skew Brownian motions being weak solution to (*). Moreover, the irreducibility and the equivalence in distribution of expected general skew Brownian motions will be characterized. Finally, several special cases will be paid particular attention to and we will prove or disprove the pathwise uniqueness for (*).

研究动机与目标

• 刻画符号测度 $\\mu$ 的条件，以保证由对称半鞅局部时驱动的随机微分方程存在弱解。
• 通过关联狄利克雷型式的福克斯分解，确定此类解为半鞅的条件。
• 建立路径唯一性、不可约性及所得扩散过程分布等价性的准则。
• 将经典的 $\alpha$-偏斜布朗运动推广至任意符号测度 $\mu$ 支撑于可数或不可数集合的情形。
• 通过不可约分解与一般区间上的光滑测度理论，分析扭曲布朗运动的结构。

提出的方法

• 在 $L^2(\mathbb{R}, \mathfrak{m})$ 上使用狄利克雷型式 $\mathscr{E}(f,g) = \frac{1}{2}\int_\mathbb{R} f'(x)g'(x)\rho(x)\,dx$，其中 $= \rho(x)dx$，将扭曲布朗运动定义为关联的扩散过程。
• 应用福克斯分解刻画过程为半鞅的条件，将漂移项与关于 $\mu$ 的局部时积分联系起来。
• 将广义偏斜布朗运动表示为随机微分方程 $dY_t = dW_t + \int_\mathbb{R} \mu(dz) dL^z_t(Y)$ 的弱解，其中 $L^z_t(Y)$ 为对称半鞅局部时。
• 利用光滑测度理论与 $\mathscr{E}$-嵌套分析过程的支撑集与极集，特别关注区间族 $\mathtt{I}_k$ 的并集的补集。
• 推导 $\mu$ 相对于狄利克雷型式为光滑测度的条件，通过紧集逼近与总 Variation 测度 $\sigma$-有限性。
• 应用势论结果（例如 [5, (3.5.13)]）通过在无穷端点附近速度测度的可积性条件刻画非保守性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\mu$ 的条件下，随机微分方程 $dY_t = dW_t + \int_\mathbb{R} \mu(dz) dL^z_t(Y)$ 允许存在弱解？
• RQ2 何时解过程 $Y$ 为半鞅，其通过福克斯分解如何刻画？
• RQ3 何种 $\mu$ 的条件可保证该 SDE 的路径唯一性？
• RQ4 在何种条件下过程不可约，何时两个此类过程在分布上等价？
• RQ5 支持集 $\mu$ 的结构（如离散、可数或具有聚点的不可数集）如何影响解的性质？

主要发现

• 当且仅当 $\mu(\left(\cup_{k\geq 1} \mathtt{I}_k\right)^c) = 0$ 且 $\mu|_{\mathtt{I}_k}$ 在每个区间 $\mathtt{I}_k$ 上为 Radon 测度时，SDE 存在弱解，此时 $\mu$ 相对于狄利克雷型式为光滑测度。
• 路径唯一性成立当且仅当在可数偏斜情形下有 $\sum_{k=1}^\infty |2\alpha_k^- - 1| + \sum_{k=-\infty}^1 |2\alpha_k^+ - 1| < \infty$，推广了勒·加尔的条件。
• 过程为保守的当且仅当对任意 $k$，$\mathfrak{a}_k = -\infty$ 且 $\mathfrak{b}_k = \infty$ 均不成立，且对无界区间，不等式 $\int_{-\infty}^{\mathfrak{e}_k} \mathfrak{m}((x, \mathfrak{e}_k)) \lambda_{{\mathfrak{s}}_k}(dx) < \infty$ 不成立。
• 扭曲布朗运动的不可约分解对应于区间 $\mathtt{I}_k$，且过程在 $\mathbb{R}$ 上不可约当且仅当 $\cup_{k\geq 1} \mathtt{I}_k = \mathbb{R}$ 几乎处处关于 $\mathfrak{m}$ 成立。
• 两个广义偏斜布朗运动在分布上等价当且仅当它们各自的测度 $\mu$ 满足相同的光滑性与支撑条件，且其局部时漂移几乎处处相等（关于 $\mathfrak{m}$）。
• 解为半鞅当且仅当漂移项 $\int_\mathbb{R} \mu(dz) dL^z_t(Y)$ 为有限变差，当 $\mu$ 为光滑测度且过程为保守时，此条件成立。