[论文解读] On global solutions to a viscous compressible two-fluid model with unconstrained transition to single-phase flow in three dimensions

Huanyao Wen|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文证明了在三维空间中，对于具有无约束相变的粘性可压缩双流体模型，即使在某一相在某些点消失的情况下，全局有限能量弱解的存在性。其关键创新在于一种新颖的压力降维技术与区域分离方法，克服了非单调、多组分压力定律带来的挑战，且无需对绝热常数或密度施加约束。

ABSTRACT

We consider the Dirichlet problem for a compressible two-fluid model in three dimensions, and obtain the global existence of weak solution with large initial data and independent adiabatic constants Γ,γ>=9/5. The pressure functions are of two components solving the continuity equations. Two typical cases for the pressure are considered, which are motivated by the compressible two-fluid model with possibly unequal velocities [3] and by a limiting system from the Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes system [27] (see also some other relevant models like compressible MHD system for two-dimensional case [24] and compressible Oldroyd-B model with stress diffusion [1]). The lack of enough regularity for the two densities turns out some essential difficulties in the two-component pressure compared with the single-phase model, i.e., compressible Navier-Stokes equations. In this paper, the global existence theory does not require any domination conditions for the initial densities, which implies that transition to each single-phase flow is allowed.

研究动机与目标

• 建立三维粘性可压缩双流体模型在大、可能不连续的初始数据下的全局弱解存在性。
• 允许从双相流到单相流的无约束相变，包括某一相在某些点或区域消失的情况。
• 消除先前研究中对绝热常数或密度比的约束条件。
• 将理论扩展至二维无电阻率可压缩磁流体动力学（MHD）系统，作为副产品。
• 解决双组分压力函数缺乏正则性所导致的密度估计中紧致性受阻的问题。

提出的方法

• 采用带有人工粘性与人工压力的Galerkin逼近方法对系统进行正则化。
• 对双组分压力函数 $ P(n,\rho) = n^\rho + \rho^\rho $ 应用变量降维技术，以控制其非单调行为。
• 基于截断函数 $ T_k(\rho), T_k(n) $ 的区域分离方法，用于隔离高密度区域并管理弱收敛性。
• 在 $ L^1 $ 中建立 $ n^{\rho+\theta_1}, \rho^{\rho+\theta_2} $ 的一致有界性，以控制奇异性并实现紧致性。
• 利用 $ z \mapsto z\log z $ 的凸性与弱下半连续性，证明 $ \rho, n $ 在 $ L^{\gamma_1} $ 与 $ L^{\Gamma_1} $ 中的强收敛性，其中 $ \gamma_1 < \gamma + \theta_2 $, $ \Gamma_1 < \Gamma + \theta_1 $。
• 通过熵型估计间接应用Bresch-Jabin方法，实现在无压力单调性假设下对密度紧致性的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有大、可能不连续初始数据且无约束相变的三维可压缩双流体模型，全局弱解是否存在？
• RQ2 是否可以消除对绝热常数 $ \gamma, \Gamma $ 之间或双相模型中密度之间约束的依赖？
• RQ3 当压力为非单调且多组分时，如何实现密度的紧致性？
• RQ4 双流体模型能否作为二维无电阻率可压缩MHD系统的统一框架？
• RQ5 处理双组分压力函数正则性丧失时，需要哪些新的分析技术？

主要发现

• 对于具有大、可能不连续初始数据的三维可压缩双流体模型，全局有限能量弱解存在。
• 该模型允许无约束地过渡到单相流：某一相可在某些点或区域消失，且对 $ \gamma, \Gamma $ 或密度比无限制。
• 双组分压力 $ P(n,\rho) = n^\Gamma + \rho^\gamma $ 的存在性证明无需其单调性或凸性。
• 在任意 $ \gamma_1 < \gamma + \theta_2 $, $ \Gamma_1 < \Gamma + \theta_1 $ 下，$ \rho $ 与 $ n $ 在 $ L^{\gamma_1}(Q_T) $ 与 $ L^{\Gamma_1}(Q_T) $ 中实现强收敛，其中 $ \theta_1, \theta_2 > 0 $。
• 该方法作为副产品，也给出了二维无电阻率可压缩MHD系统在非负垂直磁场条件下的全局弱解。
• 通过一种新型压力降维技术与区域分离方法，实现了密度的紧致性，克服了双组分压力函数正则性不足的问题。