[论文解读] On Graphs Representable by Pattern-Avoiding Words

Yelena Mandelshtam|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

semigroups and automata theory参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文研究了可通过避免特定模式的字串表示的图，重点分析了123-和132-可表示图。研究证明，并非所有圈图都是132-可表示的，从而确立132-可表示图是圈图的一个真子集，123-可表示图亦为圈图的真子集，且与132-可表示图为不同类。此外，本文还刻画了树与完全图的2-均匀避免模式字串表示。

ABSTRACT

In this paper we study graphs defined by pattern-avoiding words. Word-representable graphs have been studied extensively following their introduction in 2000 and are the subject of a book published by Kitaev in 2015. Recently there has been interest in studying graphs represented by pattern-avoiding words. In particular, in 2016, Gao, Kitaev, and Zhang investigated 132-representable graphs, that is, word-representable graphs that can be represented by a word which avoids the pattern 132. They proved that all 132- representable graphs are circle graphs and provided examples and properties of 132-representable graphs. They posed several questions, some of which we answer in this paper. One of our main results is that not all circle graphs are 132-representable, thus proving that 132-representable graphs are a proper subset of circle graphs, a question that was left open in the paper by Gao et al. We show that 123-representable graphs are also a proper subset of circle graphs, and are different from 132-representable graphs. We also study graphs represented by pattern-avoiding 2-uniform words, that is, words in which every letter appears exactly twice.

研究动机与目标

• 解决关于132-可表示图与圈图之间关系的开放问题。
• 确定123-可表示图是否为圈图的真子集，以及其与132-可表示图的关系。
• 刻画可通过避免123与132模式的2-均匀字串表示的图。
• 识别123与132模式的最小不可表示图示例。
• 阐明顶点标记在避免模式字串图表示中的作用。

提出的方法

• 通过序同构与弦相交性质，证明任意132-可表示图均为圈图。
• 使用递归构造法，证明所有树均可通过2-均匀132避免字串表示。
• 通过字母顺序上的反证法，证明当n > 3时，完全图Kₙ无法通过2-均匀字串表示为132-可表示图。
• 为路径图与完全图构造2-均匀123避免字串，以证明这些图类的123-可表示性。
• 使用两个K₄图的不相交并作为反例，证明并非所有圈图都是132-可表示的。
• 应用定理2.9（字串可表示性与2-均匀性）将2-均匀132避免字串与圈图关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个K₄图的不相交并是否是最小的非132-可表示圈图？
• RQ2 7个顶点的星图是否是最小的非123-可表示圈图？
• RQ3 所有123-可表示图是否为圈图的真子集？
• RQ4 123-可表示图与132-可表示图是否为不同类？
• RQ5 哪些图可由避免123或132模式的2-均匀字串表示？

主要发现

• 并非所有圈图都是132-可表示的，证明132-可表示图是圈图的真子集。
• 两个K₄图的不相交并是圈图但非132-可表示，构成最小反例。
• 所有树均可通过2-均匀132避免字串递归构造实现132-可表示。
• 所有完全图Kₙ均可通过2-均匀123避免字串表示，使用字串n(n−1)⋯1n(n−1)⋯1。
• 当n > 3时，完全图Kₙ无法通过2-均匀字串表示为132-可表示图，字母顺序上的反证法已证明此结论。
• 存在既非123-也非132-可表示的圈图，例如特定的7个顶点星型结构。