[论文解读] On Gromov's positive scalar curvature conjecture for virtual duality groups

Alexander Dranishnikov|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文证明了格罗莫夫的猜想：若闭合几乎旋 $n$-流形的 fundamental group 是满足粗 Baum-Connes 猜想之虚拟对偶群，则其万有覆叠的宏观维数至多为 $n-2$。证明使用了粗上同调、伯斯坦-施瓦茨类与示性理论，表明将映射形变至 $(n-2)$-骨架的主示性类消失，从而将该猜想成立的群类扩展至先前结果之外。

ABSTRACT

We prove the inequality $$ \dim_{mc}\Wi M\le n-2$$ for the macroscopic dimension of the universal covers $\Wi M$ of almost spin $n$-manifolds $M$ with positive scalar curvature whose fundamental group $π_1(M)$ is a virtual duality group that satisfies the coarse Baum-Connes conjecture.

研究动机与目标

• 将格罗莫夫的正 scalar 曲率猜想推广至更广的 fundamental group 类，包括几乎幂零、算术群与映射类群。
• 为满足粗 Baum-Connes 猜想的虚拟对偶 fundamental group 的几乎旋流形建立不等式 $\dim_{mc}\widetilde{M} \leq n-2$。
• 将宏观维数的概念推广，纳入粗无关性，并将其与有理无关性及群上同调联系起来。
• 将弱格罗莫夫猜想约化为关于 $\beta\widetilde{M}$ 的 Stone-Čech 紧化与上同调类的有理性猜想。

提出的方法

• 使用通过一致有界映射到有限维单纯复形定义的宏观维数 $\dim_{mc}$。
• 应用粗上同调与粗 Baum-Connes 猜想，分析 $\widetilde{M}$ 的大尺度几何。
• 利用伯斯坦-施瓦茨类 $b \in H^1(\pi, I(\pi))$ 及其上杯积构造向低阶骨架形变的障碍。
• 通过伯斯坦-施瓦茨类的普遍性质，将问题约化为证明主障碍 $o_{\widetilde{f}}$ 消失。
• 使用 $\pi_1$-等变扰动映射 $Pert_*$ 与系数同态 $ec^*_M$，将基本类与上同调障碍联系起来。
• 依赖于 $\beta\widetilde{M}$ 上层上同调的有理性猜想，以证明障碍类具有有限阶，从而消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足粗 Baum-Connes 猜想的虚拟对偶群，正 scalar 曲率流形的万有覆叠的宏观维数是否满足 $\dim_{mc}\widetilde{M} \leq n-2$？
• RQ2 弱格罗莫夫猜想（$\dim_{mc}\widetilde{M} \leq n-1$）是否可约化为 $\widetilde{M}$ 的 Stone-Čech 紧化上的有理性条件？
• RQ3 当基本类在有理同调中为挠类时，将分类映射形变至 $(n-1)$-骨架的主障碍是否平凡？
• RQ4 伯斯坦-施瓦茨类在多大程度上通过其上杯积与系数同态控制宏观维数？
• RQ5 障碍类 $o_{\widetilde{f}}$ 的消失是否意味着对于此类 fundamental group 的几乎旋流形有 $\dim_{mc}\widetilde{M} < n$？

主要发现

• 对于所有具有正 scalar 曲率与满足粗 Baum-Connes 猜想的虚拟对偶 fundamental group 的几乎旋 $n$-流形，不等式 $\dim_{mc}\widetilde{M} \leq n-2$ 成立。
• 证明表明，形变至 $(n-2)$-骨架的主障碍 $o_{\widetilde{f}}$ 消失，从而推出 $\dim_{mc}\widetilde{M} < n$。
• 有理无关性意味着 $f_*([M])$ 为挠类，从而迫使 $f^*(b^n)$ 具有有限阶，导致在有理情形下障碍消失。
• 弱格罗莫夫猜想被约化为 $\beta\widetilde{M}$ 上以 $\bar{p}^*\mathcal{I}^n$ 为系数的上同调的有理性猜想，在此条件下障碍类 $\tilde{o}$ 消失。
• 该结果将格罗莫夫猜想成立的群类扩展至包括几乎幂零群、算术群、纽结群、辫群与 $\mathrm{Out}(F_n)$，超越了自由群乘积的情形。
• 通过粗同调与扰动理论，建立了 $\dim_{mc}\widetilde{M} < n$ 与 $\widetilde{f}_*([\widetilde{M}])$ 在 $H^{lf}_n(E\pi;\mathbb{Z})$ 中消失的等价性。