[论文解读] On Gromov-Witten theory of projective bundles

Honglu Fan, Yuan-Pin Lee|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文证明了当 $V_1$ 与 $V_2$ 具有相同的等变陈类时，光滑射影代数簇 $Y$ 上带有环面作用的向量丛 $\mathbb{P}(V_1)$ 与 $\mathbb{P}(V_2)$ 的亏格零等变 Gromov-Witten 不变量是同构的。通过虚拟局部化与等变形变技术，作者证明了此类射影丛的 Gromov-Witten 理论仅依赖于基空间 $Y$ 与丛的总等变陈类，从而为非分裂向量丛建立了量子版的分裂原理。

ABSTRACT

Given two equivariant vector bundles over an algebraic GKM manifold with the same equivariant Chern classes, we show that the genus zero equivariant Gromov--Witten theory of their projective bundles are naturally isomorphic.

研究动机与目标

• 建立射影丛上非分裂向量丛的量子版分裂原理。
• 证明 $\mathbb{P}(V)$ 的 Gromov-Witten 不变量由基空间 $Y$ 与总等变陈类 $c_T(V)$ 决定。
• 通过等变局部化与形变技术，将已知关于分裂丛的结果推广至非分裂丛。
• 证明同构的等变上同调类在诱导映射 $\mathfrak{F}$ 下诱导出同构的 Gromov-Witten 不变量。

提出的方法

• 在等变 Gromov-Witten 理论中使用虚拟局部化，以计算 $T$-不变稳定映射上的不变量。
• 应用拉格朗日锥形式化方法，关联射影丛及其退化形式的 Gromov-Witten 母函数。
• 使用带标记的图来编码 $T$-不变稳定映射，并计算虚拟法丛。
• 利用等变向量丛在 $\mathbb{P}^1$ 上若具有相同陈类则形变等价的事实，借助模堆栈的连通性。
• 应用由虚拟局部化导出的递推关系，关联不同丛之间的不变量。
• 利用局部化公式中等变欧拉类的可逆性，确保在 $x=0$ 处极限定义良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $\mathbb{P}(V)$ 的 Gromov-Witten 理论仅依赖于基空间 $Y$ 与总等变陈类 $c_T(V)$？
• RQ2 能否将量子分裂原理推广至非分裂向量丛？
• RQ3 当 $c_T(V_1) = c_T(V_2)$ 时，$\mathbb{P}(V_1)$ 与 $\mathbb{P}(V_2)$ 的 Gromov-Witten 不变量之间是否存在同构？
• RQ4 等变形变技术能否替代纤维方向的环面作用，用于计算非分裂丛的 Gromov-Witten 不变量？

主要发现

• 当 $c_T(V_1) = c_T(V_2)$ 时，$\mathbb{P}(V_1)$ 与 $\mathbb{P}(V_2)$ 的亏格零等变 Gromov-Witten 不变量通过上同调与曲线类上的诱导同构 $\mathfrak{F}$ 同构。
• 即使 $V$ 不是分裂丛，$\mathbb{P}(V)$ 的 Gromov-Witten 理论也完全由基空间 $Y$ 与总等变陈类 $c_T(V)$ 决定。
• 在同构 $\mathfrak{F}$ 下，$\mathbb{P}(V_1)$ 与 $\mathbb{P}(V_2)$ 的拉格朗日锥被识别，确保所有亏格零不变量的等价性。
• 虚拟法丛欧拉类在 $x=0$ 处具有定义良好的极限，且该极限可逆，从而保证了证明中局部化的适用性。
• 具有相同陈类的 $\mathbb{P}^1$ 上的等变向量丛可通过一族连接，确保 Gromov-Witten 不变量的形变不变性。
• 定理 3.5 中的递推关系对 $\mathbb{P}(V_1)$ 与 $\mathbb{P}(V_2)$ 恒成立，证明了在 $\mathfrak{F}$ 下 Gromov-Witten 母函数的不变性。