[论文解读] On H-groups and their applications to topological homotopy groups

Ali Pakdaman, Hamid Torabi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文建立了H-群——具有同伦逆的同伦结合H-空间——的基础理论，将抽象群论的概念推广至同伦范畴。文章建立了H-同构定理，定义了具有拟拓扑群结构的商H-群，并将该框架应用于证明：在小环路空间中，拓扑基本群是非离散的；在局部n-连通空间中，拓扑基本群是离散的；同时识别出一族空间（n-夏威夷如空间），其拓扑基本群为拟离散度量化的拓扑群。

ABSTRACT

This paper develops a basic theory of H-groups. We introduce a special quotient of H-groups and extend some algebraic constructions of topological groups to the category of H-groups and H-maps. We use these constructions to prove some advantages in topological homotopy groups. Also, we present a family of spaces that their topological fundamental groups are indiscrete topological group and find out a family of spaces whose topological fundamental group is a topological group.

研究动机与目标

• 建立H-群的基础代数理论，其类比于抽象群论。
• 将子H-群、正规子H-群及商群等构造推广至同伦范畴。
• 将所发展的H-群理论应用于分析拓扑同伦群的拓扑结构。
• 识别出拓扑同伦群为离散或非离散的条件。
• 构造一族空间，其拓扑基本群本身为拓扑群（具体而言，为拟离散度量化的群）。

提出的方法

• 通过同伦理论构造引入陪集、正规子H-群及商H-群。
• 定义H-同态与H-同构，并利用核与中心构造建立H-同构定理。
• 为商H-群赋予一种拓扑，使其成为拟拓扑群，从而支持拓扑分析。
• 将该理论应用于环路空间与迭代环路空间，特别使用$ abla^n(X,x)$上的紧开拓扑。
• 利用0-半局部单连通空间与局部n-连通性的概念，分析$ abla_n^{top}(X,x)$的拓扑结构。
• 采用n-夏威夷如空间（n-连通、局部n-连通、紧致CW复形的楔和的逆极限）构造具有拟离散度量化拓扑基本群的空间示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拓扑n阶同伦群$ abla_n^{top}(X,x)$是离散的？
• RQ2 何时拓扑基本群$ abla_1^{top}(X,x)$是非离散的？何种空间$X$的拓扑性质可保证这一点？
• RQ3 H-群理论能否被推广，以得到类似于抽象群论中的同构定理？
• RQ4 哪一族空间的拓扑基本群本身是拓扑群？
• RQ5 局部连通性与半局部单连通性如何与$ abla_n^{top}(X,x)$的离散性相关联？

主要发现

• 每个小环路空间的拓扑基本群都是非离散的，该结论通过反证法并利用环路空间中基本开邻域的性质得以证明。
• 对于任意局部n-连通空间$X$，其拓扑n阶同伦群$ abla_n^{top}(X,x)$是离散的，即使不假设度量性亦成立。
• 对于$n > 1$的n-夏威夷如空间$X$，其拓扑基本群是一个拟离散度量化的拓扑群，具体表示为$ abla_1^{top}( abla^{n-1}(X,x), e_x)$。
• 对于局部(n-1)-连通空间，$ abla_n^{top}(X,x)$是离散的，当且仅当$X$是n-半局部单连通的。
• 局部n-连通空间$X$的环路空间$ abla(X,x)$是局部(n-1)-连通的，这意味着$ abla^n(X,x)$是局部道路连通的，因此其道路分支空间是离散的。
• n-夏威夷如空间的环路空间的拓扑基本群是一个拓扑群，具体而言为拟离散度量化的群。