[论文解读] On hard quadrature problems for marginal distributions of SDEs with bounded smooth coefficients

Thomas Müller-Gronbach, Larisa Yaroslavtseva|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文证明，对于具有无限次可微、有界系数的随机微分方程（SDEs），任何基于有限次系数及其导数评估的蒙特卡洛方法，都无法实现计算边际期望的多项式收敛速率。关键结果表明，对于任意缓慢的收敛速度，均存在一个具有光滑、有界系数的SDE，使得均绝对误差无法比该速度更快收敛，从而揭示了在这些正则性条件下SDE数值积分的固有最坏情况复杂度屏障。

ABSTRACT

In recent work of Hairer, Hutzenthaler and Jentzen, see [9], a stochastic differential equation (SDE) with infinitely often differentiable and bounded coefficients was constructed such that the Monte Carlo Euler method for approximation of the expected value of the first component of the solution at the final time converges but fails to achieve a mean square error of a polynomial rate. In the present paper we show that this type of bad performance for quadrature of SDEs with infinitely often differentiable and bounded coefficients is not a shortcoming of the Euler scheme in particular but can be observed in a worst case sense for every approximation method that is based on finitely many function values of the coefficients of the SDE. Even worse we show that for any sequence of Monte Carlo methods based on finitely many sequential evaluations of the coefficients and all their partial derivatives and for every arbitrarily slow convergence speed there exists a sequence of SDEs with infinitely often differentiable and bounded by one coefficients such that the first order derivatives of all diffusion coefficients are bounded by one as well and the first order derivatives of all drift coefficients are uniformly dominated by a single real-valued function and such that the corresponding sequence of mean absolute errors for approximation of the expected value of the first component of the solution at the final time can not converge to zero faster than the given speed.

研究动机与目标

• 研究具有光滑、有界系数的SDE解期望值数值逼近的收敛速率的根本限制。
• 确定超越欧拉方法的高级方案是否能够克服以往工作中蒙特卡洛欧拉方法观察到的收敛性差的问题。
• 建立任何使用有限次系数及其导数评估的算法收敛速度的最坏情况下界。
• 证明即使系数无限次可微且有界，多项式收敛在最坏情况下仍不可实现。

提出的方法

• 作者构造了一类具有光滑、有界系数且漂移和扩散系数的一阶导数一致有界的SDE族。
• 他们在系数空间中引入一种新颖的振荡函数构造方法，以在解的边际分布中引发病态行为。
• 证明依赖于一种基于函数值与其通过高斯加权积分对期望值影响之间差异的下界技术。
• 一个关键技术工具是构造光滑函数类中的一对函数，使得它们在积分泛函上的差异远离零，尽管其点态差异很小。
• 该方法应用基于正弦积分和高斯测度的扰动论证，推导出任何确定性或蒙特卡洛方法的误差下界。
• 分析利用了光滑紧支集函数及其导数的性质，以确保有界性和光滑性，同时保持最坏情况误差结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何基于有限次系数及其导数评估的数值方法，是否能够实现对具有光滑、有界系数的SDE解第一分量期望值计算的多项式收敛速率？
• RQ2 在某些SDE中，蒙特卡洛欧拉方法观察到的收敛性差，是方法本身的局限性，还是问题类的根本属性？
• RQ3 对于具有无限次可微且有界系数的SDE，其积分的最坏情况收敛速率是多少？
• RQ4 通过使用高阶格式或更复杂的采样策略，是否能够提升收敛速率？

主要发现

• 对于任意任意缓慢的收敛速度，均存在一个具有无限次可微、有界系数的SDE序列，使得任何基于有限次系数及其导数评估的蒙特卡洛方法都无法实现更快的收敛速率。
• 所有漂移和扩散系数的一阶导数均被一致有界于1，且漂移系数的一阶导数被一个可积函数控制。
• 在时间1处近似解第一分量期望值的均绝对误差，无法比任何给定的次多项式速率更快收敛至零。
• 即使所有系数及其一阶导数均被1有界，该结果依然成立，表明光滑性本身并不能保证积分的可处理性。
• 误差的最坏情况下界被显式量化，其依赖于临界点处系数函数的逆，随其平方呈指数衰减。