[论文解读] On homometric sets in graphs

Maria Axenovich, Lale Özkahya|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2012

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 3

一句话总结

该论文改进了图中不相交同距顶点集最大大小的界，为树和有界直径图引入了新的下界。证明了对于任意n个顶点的树T，有h(T) ≥ n^{1/3} − 1；对于直径为d的图，有h(G) ≥ c n^{1/(2d−2)}，显著推进了图论中同距集问题的已有结果。

ABSTRACT

For a vertex set $S\subseteq V(G)$ in a graph $G$, the {\em distance multiset}, $D(S)$, is the multiset of pairwise distances between vertices of $S$ in $G$. Two vertex sets are called {\em homometric} if their distance multisets are identical. For a graph $G$, the largest integer $h$, such that there are two disjoint homometric sets of order $h$ in $G$, is denoted by $h(G)$. We slightly improve the general bound on this parameter introduced by Albertson, Pach and Young (2010) and investigate it in more detail for trees and graphs of bounded diameter. In particular, we show that for any tree $T$ on $n$ vertices $h(T) \geq \sqrt[3]{n}$ and for any graph $G$ of fixed diameter $d$, $h(G) \geq cn^{1/ (2d-2)}$.

研究动机与目标

• 改进图G中两个不相交同距顶点集最大大小h(G)的一般上界和下界。
• 研究特定图类（尤其是树、蜘蛛图、荷叶形图和发梳图）的h(G)。
• 建立h(G)与图参数（如直径、边数和顶点度分布）之间的定量关系。
• 将欧氏距离集和整数同距集中的已知结果推广到图论设定中。

提出的方法

• 通过树的结构分解（特别是蜘蛛图、荷叶形图和发梳图）提出一种同距集的新构造方法。
• 应用数论和图论工具，包括多重集差和基于同构的构造方法，以生成同距对。
• 采用基于度的顶点划分和基于距离的划分（例如，按与叶节点的距离）来推导h(T)的下界。
• 利用“坏”顶点（度数≥3）及其分布的概念，通过结构引理界定同距集的大小。
• 应用极值图论技术，基于直径d和边数e推导界，使用涉及二项式系数的不等式。
• 借鉴整数多重集中同距集的已知结果（例如U+V和U−V构造）以指导图中构造的构建。

实验结果

研究问题

• RQ1 以顶点数n表示时，树的h(G)的最佳可能下界是什么？
• RQ2 图的直径d如何影响不相交同距集的最大大小？
• RQ3 能否利用边密度和顶点度等结构参数，推导出h(G)的改进下界？
• RQ4 对于哪些树类（如蜘蛛图、荷叶形图或发梳图）中，h(T)有非平凡的n函数下界？
• RQ5 是否存在标准同距集构造失效的图族？若存在，此类情况如何表征？

主要发现

• 对于任意n个顶点的树T，有h(T) ≥ n^{1/3} − 1，显著优于先前的界。
• 对于固定直径d的图，有h(G) ≥ c n^{1/(2d−2)}，其中c > 0为某常数，且该界对充分大的n成立。
• 对于荷叶形图，有h(R_n) ≥ n/6；对于发梳图，有h(H_n) ≥ √n / 2。
• 对于具有k条边的n顶点蜘蛛图，当k ≥ 5时，有h(S_{n,k}) ≥ (1/4 + 3/(8k−12))n，且给出了k = 3和k = 4时的精确值。
• 对于具有n/2条边的蜘蛛图，有h(S_{n,n/2}) = (n+2)/4，且对某些对称的三边蜘蛛图，有h(T) = n/2。
• 当“坏”顶点（度数≥3）的数量为o(√n)，或叶节点数量较多时，即使在小直径树中，也有h(T) = Ω(√n)。