[论文解读] Spectra of subdivision-vertex and subdivision-edge joins of graphs

Xiaogang Liu, Zuhe Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Graph theory and applications参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文推导出当一个图是正则图时，两种新型图运算——细分-顶点联接和细分-边联接的邻接矩阵谱、拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱的显式公式。该研究可构造无限多组同谱图，并提供了这些联接图的生成树数目和基尔霍夫指数的精确表达式。

ABSTRACT

The subdivision graph $\mathcal{S}(G)$ of a graph $G$ is the graph obtained by inserting a new vertex into every edge of $G$. Let $G_1$ and $G_2$ be two vertex disjoint graphs. The subdivision-vertex join of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\dot{\vee}G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $G_2$ by joining every vertex of $V(G_1)$ with every vertex of $V(G_2)$. The subdivision-edge join of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\underline{\vee}G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $G_2$ by joining every vertex of $I(G_1)$ with every vertex of $V(G_2)$, where $I(G_1)$ is the set of inserted vertices of $\mathcal{S}(G_1)$. In this paper we determine the adjacency spectra, the Laplacian spectra and the signless Laplacian spectra of $G_1\dot{\vee}G_2$ (respectively, $G_1\underline{\vee}G_2$) for a regular graph $G_1$ and an arbitrary graph $G_2$, in terms of the corresponding spectra of $G_1$ and $G_2$. As applications, these results enable us to construct infinitely many pairs of cospectral graphs. We also give the number of the spanning trees and the Kirchhoff index of $G_1\dot{\vee}G_2$ (respectively, $G_1\underline{\vee}G_2$) for a regular graph $G_1$ and an arbitrary graph $G_2$.

研究动机与目标

• 刻画细分-顶点联接 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 和细分-边联接 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 的邻接矩阵谱、拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱。
• 在 $ G_1 $ 为正则图的假设下，建立基于原始图 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 谱的谱公式。
• 应用谱结果构造无限多组同谱图。
• 推导出联接图的生成树数目和基尔霍夫指数的精确表达式。

提出的方法

• 通过在图 $ G $ 的每条边上插入一个顶点，定义细分图 $ \mathcal{S}(G) $。
• 通过将 $ V(G_1) $ 的所有顶点与 $ V(G_2) $ 的所有顶点相连，以 $ \mathcal{S}(G_1) $ 作为基础，引入细分-顶点联接 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $。
• 通过将 $ \mathcal{S}(G_1) $ 中插入的顶点（即 $ I(G_1) $）与 $ V(G_2) $ 的所有顶点相连，定义细分-边联接 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $。
• 在 $ G_1 $ 为正则图的假设下，运用谱图论技术，特别是特征值交错性和矩阵分解方法。
• 利用正则图和联接运算的已知谱性质，推导出新图运算谱的闭式表达式。
• 利用谱结果，通过代数图论中的基于行列式的公式，计算生成树数目和基尔霍夫指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ G_1 $ 为正则图时，如何用 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的谱表示细分-顶点联接 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 的邻接谱？
• RQ2 当 $ G_1 $ 为正则图且 $ G_2 $ 为任意图时，细分-边联接 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 的拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱是什么？
• RQ3 所推导的谱公式能否用于生成无限多组同谱图？
• RQ4 这些联接图的生成树数目和基尔霍夫指数能否获得精确表达式？
• RQ5 图 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的谱性质如何影响所得到联接图的谱行为？

主要发现

• 在 $ G_1 $ 为正则图的条件下，$ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 的邻接谱完全由 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的特征值决定。
• 在 $ G_1 $ 为正则图的假设下，$ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 的拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱可用 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的谱表示。
• 本文利用推导出的谱公式，构造了无穷多对非同构的同谱图。
• 在 $ G_1 $ 为正则图的条件下，基于 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的谱，推导出 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 的生成树数目的精确公式。
• 通过拉普拉斯矩阵的谱分解，获得了 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 的基尔霍夫指数的精确表达式。
• 结果适用于邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵，为这两种图运算提供了全面的谱分析。