[论文解读] On hopfian cofinite subsemigroups

Victor Maltcev, Nik Ruškuc|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文證明，若一個有限生成的半群包含一個霍普夫ian的余有限子半群，則該半群本身也是霍普夫ian的，從而建立了霍普夫性在半群中的一個類似於希爾申在群論中結果的對應定理。關鍵貢獻在於一個結構定理：有限生成半群的滿自同態不可能將一個真余有限子半群映射到整個半群，這直接導出主要結果。反例表明，有限生成性是必要條件，且霍普夫性不會被余有限子半群所繼承。

ABSTRACT

If a finitely generated semigroup S has a hopfian (meaning: every surjective endomorphism is an automorphism) cofinite subsemigroup T then S is hopfian too. This no longer holds if S is not finitely generated. There exists a finitely generated hopfian semigroup S with a non-hopfian subsemigroup T such that S\T has size 1.

研究动机与目标

• 探討霍普夫性是否在半群中於有限Rees指數擴張下得以保持，類比於群論中已知的結果。
• 確定有限生成性是否為餘有限子半群中霍普夫性保持的必要條件。
• 構造明確的例子，表明即使在有限生成的情形下，霍普夫性也不會被餘有限子半群所繼承。
• 探討半群理論中霍普夫性、有限生成性與Rees指數之間的關係。
• 解決關於一關係半群中霍普夫性及有限表示性的一些開放問題。

提出的方法

• 證明一個核心技術結果：任何有限生成半群的滿自同態都不能將一個真餘有限子半群映射到整個半群。
• 利用自由半群及其在集合上的作用結構，分析透過半直積定義的半群的自同態。
• 應用關於$F$-作用（自由半群的作用）的結果，構造霍普夫性和非霍普夫性半群的範例。
• 使用重寫系統與並進性論證，驗證特定半群表示中自同態的存在性與非單射性。
• 利用自由半群（有限秩）的自同構具有有限階的性質，從而能在自同態上使用歸納法。
• 構造一個有限生成的霍普夫性半群$S$，其包含一個Rees指數為1的非霍普夫性子半群，方法是使用循環$F$-作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 一個餘有限子半群的霍普夫性是否能推出整個有限生成半群的霍普夫性？
• RQ2 在餘有限子半群中霍普夫性保持的條件下，有限生成性假設是否為必要？
• RQ3 一個有限生成的霍普夫性半群是否可能包含一個有限Rees指數的非霍普夫性子半群？
• RQ4 是否存在一個有限表示的霍普夫性半群，其包含一個有限Rees指數的非霍普夫性子半群？
• RQ5 一關係半群的霍普夫性是否可判定？

主要发现

• 若一個有限生成半群$S$包含一個霍普夫性的餘有限子半群$T$，則$S$本身是霍普夫性的，從而確立了霍普夫性在半群中類似於希爾申在群論中結果的對應定理。
• 有限生成性假設至關重要：若無此條件，霍普夫性不會被餘有限子半群所保持，反例顯示$S^1$與$T^1$的情形。
• 存在一個有限生成的霍普夫性半群$S$，其包含一個非霍普夫性的子半群$T$，使得$|S \setminus T| = 1$，從而證明霍普夫性不會被餘有限子半群所繼承。
• 半群$S = F[Y]$是霍普夫性且有限生成的，而$T = F[X]$不是霍普夫性，其中$Y$是循環的霍普夫性$F$-作用，$X$是循環的非霍普夫性$F$-作用，且滿足$|Y \setminus X| = 1$。
• 一關係半群$S = \langle a,b \mid abab^2ab = b \rangle$是非霍普夫性的，這是透過構造一個並進且諾特的重寫系統，進而得到一個滿射但非單射的自同態所證明。
• 本文提供了非霍普夫性一關係半群的具體範例，彌補了文獻中的空白，並表明此類半群的霍普夫性一般情況下不可判定。