[论文解读] On ill- and well-posedness of dissipative martingale solutions to stochastic 3D Euler equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用 10

一句话总结

本文引入了一类新型耗散鞅解，用于随机三维不可压缩欧拉方程，并证明了其存在性、弱-强唯一性、概率律下的非唯一性，以及强马尔可夫解的存在性与非唯一性。通过使用随机凸积分方法与概率选择技术，作者表明，即使存在加性噪声或线性乘性噪声，解的适定性在概率意义下仍不成立，从而挑战了随机扰动的正则化潜力。

ABSTRACT

We are concerned with the question of well-posedness of stochastic three dimensional incompressible Euler equations. In particular, we introduce a novel class of dissipative solutions and show that (i) existence; (ii) weak--strong uniqueness; (iii) non-uniqueness in law; (iv) existence of a strong Markov solution; (v) non-uniqueness of strong Markov solutions; all hold true within this class. Moreover, as a byproduct of (iii) we obtain existence and non-uniqueness of probabilistically strong and analytically weak solutions defined up to a stopping time and satisfying an energy inequality.

研究动机与目标

• 为在一般噪声假设下研究随机三维不可压缩欧拉方程的适定性问题。
• 引入并分析一类满足能量不等式且具有物理合理性的新型耗散鞅解。
• 探究随机扰动是否能对3D欧拉方程的动力学产生正则化作用，特别是在非唯一性与马尔可夫选择的背景下。
• 通过概率构造方法，将定义在停时时刻的解扩展为全局时间解。
• 确定强马尔可夫解是否存在，以及其在律下是否唯一。

提出的方法

• 采用随机凸积分方法的变体，构造出无穷多个不满足能量等式的耗散鞅解。
• 该构造依赖于一种概率延拓程序，将定义在停时时刻的局部解扩展为[0, ∞)上的全局时间解。
• 该方法利用强马尔可夫选择理论，通过可测选择定理从鞅解族中构造马尔可夫过程。
• 使用杨积分处理伊藤公式中能量项的随机积分项，确保随机演化过程的正则性。
• 通过在路径空间上构造两个不同的概率测度（具有相同的初始分布但对某一测试泛函的期望不同），证明了在律下的非唯一性。
• 通过功能不等式与对偶论证，结合选择定理，证明了强马尔可夫解的非唯一性，适用于两组不同的解族。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为随机3D欧拉方程构造耗散鞅解，且其是否满足弱-强唯一性？
• RQ2 加性或线性乘性噪声是否能对3D欧拉方程产生正则化作用，从而避免非唯一性？
• RQ3 随机3D欧拉系统是否存在多个强马尔可夫解，若存在，其条件为何？
• RQ4 能否在保持能量不等式的同时，将定义在停时时刻的解全局延拓至整个时间区间？
• RQ5 能否构造出在概率意义下强而分析意义下弱的解，使其在律下非唯一？

主要发现

• 在包括加性噪声与线性乘性噪声在内的广义噪声假设下，随机3D欧拉方程的耗散鞅解存在。
• 在耗散鞅解类中，弱-强唯一性成立：若两个解初始数据相同，且其中一个是强解，则二者必一致。
• 在律下的非唯一性已得证：对某些初始数据，存在多个具有相同初始分布但不同概率律的耗散鞅解。
• 全局时间强马尔可夫解存在，其通过从耗散鞅解族中进行可测选择构造而成。
• 强马尔可夫解的非唯一性已确立：对同一初始数据，至少存在两个不同的强马尔可夫解族，其中一个为可容许的，另一个可能不可容许。
• 作为副产品，获得了概率意义下强而分析意义下弱的解的存在性与非唯一性，且这些解满足能量不等式。