[论文解读] On immersions of surfaces into SL(2,C) and geometric consequences

Francesco Bonsante, Christian El Emam|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文建立了关于曲面在 SL(2,ℂ) 和复空间形式 𝕏₃ ≅ SL(2,ℂ) 中浸入的全纯 Gauss-Codazzi 理论，将经典黎曼浸入理论推广至复几何。它证明了在负欧拉示性数曲面上，常曲率 −1 的正复度量的统一化定理，表明此类度量可通过全纯构造由拟 Fuchsian 表示参数化，其应用涵盖射影结构和复滑移映射。

ABSTRACT

We approach the study of totally real immersions of smooth manifolds into holomorphic Riemannian space forms of constant sectional curvature -1. We introduce a notion of first and second fundamental form, we prove that they satisfy a similar version of the classic Gauss-Codazzi equations, and conversely that solutions of Gauss-Codazzi equations are immersion data of some equivariant map. This study has some interesting geometric consequences: 1) it provides a formalism to study immersions of surfaces into SL(2,C) and into the space of geodesics of H^3; 2) it generalizes the classical theory of immersions into non-zero curvature space forms, leading to a model for the transitioning of hypersurfaces among H^n, AdS^n, dS^n and S^n; 3) we prove that a holomorphic family of immersion data corresponds to a holomorphic family of immersions, providing an effective way to construct holomorphic maps into the SO(n,C)-character variety. In particular we will point out a simpler proof of the holomorphicity of the complex landslide; 4) we see how, under certain hypothesis, complex metrics on a surface (i.e. complex bilinear forms of its complexified tangent bundle) of constant curvature -1 correspond to pairs of projective surfaces with the same holonomy. Applying Bers Double Uniformization Theorem to this construction we prove a Uniformization Theorem for complex metrics on a surface.

研究动机与目标

• 开发全纯黎曼空间形式中超曲面的全纯类比经典 Gauss-Codazzi 理论。
• 利用复几何研究曲面在 SL(2,ℂ) 和 ℍ³ 的测地线空间 𝔾 中的浸入。
• 为具有 χ(S) < 0 的曲面建立常曲率 −1 的正复度量的统一化定理。
• 证明单值性表示对初值的全纯依赖性，应用于复滑移映射。
• 通过 Bers 定理类比，将复度量与射影结构及拟 Fuchsian 表示联系起来。

提出的方法

• 在复流形上形式化全纯黎曼度量与曲率，通过全纯结构定义 Levi-Civita 联络与曲率张量。
• 将全纯黎曼空间形式 𝕏ₙ 定义为 ℂⁿ⁺¹ 中的二次曲面，具有常曲率 −1，并确认 𝕏₃ ≅ SL(2,ℂ)。
• 推导 𝕏ₙ₊₁ 中超曲面的 Gauss 与 Codazzi 方程，推广实数余维一浸入理论。
• 从与复结构相关的两个等变映射 f₁, f₂ 构造一个等距浸入 σ = (f₁, f₂): ˜S → 𝔾 ⊂ ℂℙ¹×ℂℙ¹。
• 通过 𝔾 上度量的拉回定义 S 上的正复度量 g，其单值性与发展映射的单值性相关。
• 通过证明每个具有 χ(S) < 0 的正复度量在 S 上共形等价于具有拟 Fuchsian 单值性的常曲率 −1 度量，建立统一化结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典 Gauss-Codazzi 理论能否推广至常曲率 −1 的复空间形式中的全纯浸入？
• RQ2 SL(2,ℂ) 和 ℍ³ 的测地线空间中的浸入如何与曲面上的复度量和射影结构相关联？
• RQ3 在复度量与几何结构的背景下，单值性对初值的全纯依赖性起什么作用？
• RQ4 在负欧拉示性数曲面上，常曲率 −1 的复度量在多大程度上可被统一参数化？
• RQ5 复滑移映射如何与 PSL(2,ℂ) 的特征簇的全纯结构相关？

主要发现

• 本文构造了全纯统一化定理：每个具有 χ(S) < 0 的曲面 S 上的正复度量，共形等价于唯一一个具有拟 Fuchsian 单值性的常曲率 −1 度量。
• 证明了映射 𝔪𝔬𝔫: CM⁺₋₁(S) → BC(S) 具有连续右逆 𝔪𝔞𝔠，从而通过复结构实现常曲率 −1 度量的全纯参数化。
• 统一化映射 𝔪𝔞𝔠 的像为 CM⁺₋₁(S) 中包含黎曼度量的连通分支，当 S 为闭曲面时成立。
• S 上复度量 g 的构造源于 𝔾 上度量通过等距浸入 σ = (f₁, f₂) 的拉回，其中 f₁ 与 f₂ 是到 ℂℙ¹ 的等变映射，具有相反的复结构。
• 证明了单值性对初值的全纯依赖性，从而推出复滑移映射的全纯性。
• 空间 𝕏₃ 被识别为 SL(2,ℂ)，且 ℍ³ 的测地线空间到 𝕏₃ 的浸入被证明是等距的，为曲面上的复度量提供了几何模型。