[论文解读] On independent set on B1-EPG graphs

Marin Bougeret, Stéphane Bessy+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了在 B₁-EPG 圖上最大獨立集（MIS）問題——即以在格子上最多有一個彎曲的路徑表示的圖。證明了 MIS 是 NP-完全問題，即使在強烈限制下（例如，僅一種路徑形狀、有界水平/垂直線段）也不存在 PTAS，但當水平長度有界時存在 PTAS。此外，當路徑形狀僅有三種時，MIS 是 FPT，而 B₂-EPG 上則是 W₁-難，一般 B₁-EPG 情況仍為開放問題。

ABSTRACT

In this paper we consider the Maximum Independent Set problem (MIS) on $B_1$-EPG graphs. EPG (for Edge intersection graphs of Paths on a Grid) was introduced in ~\cite{edgeintersinglebend} as the class of graphs whose vertices can be represented as simple paths on a rectangular grid so that two vertices are adjacent if and only if the corresponding paths share at least one edge of the underlying grid. The restricted class $B_k$-EPG denotes EPG-graphs where every path has at most $k$ bends. The study of MIS on $B_1$-EPG graphs has been initiated in~\cite{wadsMIS} where authors prove that MIS is NP-complete on $B_1$-EPG graphs, and provide a polynomial $4$-approximation. In this article we study the approximability and the fixed parameter tractability of MIS on $B_1$-EPG. We show that there is no PTAS for MIS on $B_1$-EPG unless P$=$NP, even if there is only one shape of path, and even if each path has its vertical part or its horizontal part of length at most $3$. This is optimal, as we show that if all paths have their horizontal part bounded by a constant, then MIS admits a PTAS. Finally, we show that MIS is FPT in the standard parameterization on $B_1$-EPG restricted to only three shapes of path, and $W_1$-hard on $B_2$-EPG. The status for general $B_1$-EPG (with the four shapes) is left open.

研究动机与目标

• 確定 B₁-EPG 圖上最大獨立集（MIS）問題的近似可及性與固定參數可適性。
• 研究在結構約束（如單一路徑形狀或有界線段長度）下，MIS 在 B₁-EPG 圖上是否存在 PTAS。
• 探討 B₁-EPG 上 MIS 的參數複雜度，特別是針對受限路徑形狀的情況。
• 建立 B₂-EPG 上 MIS 的難度結果，並與 B₁-EPG 進行比較。

提出的方法

• 透過從 k-團問題歸約，證明 MIS 在 B₂-EPG 圖上為 NP-完全與 W₁-難。
• 使用環形軌道與路徑交點構造邊與頂點的零件，以模擬獨立集中對團的選擇。
• 在每個邊與頂點零件中使用 6-路徑與 3-路徑團，以限制獨立集大小並強制選擇一致性。
• 當水平路徑長度有界時，設計 B₁-EPG 圖上的 PTAS，利用結構約束。
• 證明即使僅使用一種路徑形狀或有界水平/垂直線段（長度至多 3），MIS 在 B₁-EPG 上也不存在 PTAS。
• 透過角落座標、水平/垂直投影與共享格子邊來分析路徑表示，以建模相鄰關係。

实验结果

研究问题

• RQ1 當所有路徑的水平長度有界時，MIS 在 B₁-EPG 圖上是否存在 PTAS？
• RQ2 MIS 在僅使用一種路徑形狀的 B₁-EPG 圖上是否具有 PTAS？
• RQ3 MIS 是否能在僅限制於三種路徑形狀的 B₁-EPG 圖上以 FPT 時間求解？
• RQ4 MIS 在 B₂-EPG 圖上是否為 W₁-難？
• RQ5 在包含全部四種路徑形狀的一般 B₁-EPG 圖上，MIS 的近似可及性狀態為何？

主要发现

• 除非 P = NP，否則在 B₁-EPG 圖上 MIS 不存在 PTAS，即使僅使用一種路徑形狀，或將水平/垂直路徑線段長度限制為 3。
• 當所有水平路徑線段長度有界於常數時，MIS 在 B₁-EPG 圖上存在 PTAS。
• 當僅限制於三種路徑形狀時，MIS 在 B₁-EPG 圖上為 FPT（標準參數化）。
• MIS 在 B₂-EPG 圖上為 W₁-難，顯示其在參數化意義下具有強烈的難度。
• 從 k-團問題到 B₁-EPG 上 MIS 的歸約使用邊與頂點零件，並以 6-路徑與 3-路徑團模擬透過獨立集大小選擇團。
• 本文未解決一般 B₁-EPG 圖上包含全部四種路徑形狀的 MIS 參數複雜度問題。