[论文解读] On Integer Additive Set-Indexers of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 16被引用 36

一句话总结

本文引入并研究了图论中的整数加法集合索引（IASI），定义了IASI图并分析其结构特性。证明了每个图都可接受IASI，建立了弱和强IASI的条件，并研究了关联图（如线图和全图）中IASI的可接受性，表明强IASI在这些运算下不被保持。主要贡献在于对具有有限基集的IASI图的特征刻画，包括基于顶点数和均匀性的最小基集大小的界限。

ABSTRACT

A set-indexer of a graph $G$ is an injective set-valued function $f:V(G) ightarrow2^{X}$ such that the function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow2^{X}-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus} f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective, where $2^{X}$ is the set of all subsets of $X$ and $\oplus$ is the symmetric difference of sets. An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. A graph $G$ which admits an IASI is called an IASI graph. An IASI $f$ is said to be a {\em weak IASI} if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$ and an IASI $f$ is said to be a {\em strong IASI} if $|g_f(uv)|=|f(u)| |f(v)|$ for all $u,v\in V(G)$. In this paper, we study about certain characteristics of inter additive set-indexers.

研究动机与目标

• 将整数加法集合索引（IASI）形式化并作为图论中集合索引的推广进行研究。
• 基于边集索引数的性质，研究图在何种条件下可接受弱或强IASI。
• 确定在子图、线图和全图等关联图中IASI的可接受性。
• 建立有限基集最小大小的界限，特别针对均匀集合索引的顶点。
• 识别与IASI图中集合优美性和集合连续性相关的开放问题。

提出的方法

• 将IASI定义为从 V(G) 到 2^ℕ₀ 的单射函数 f，使得由 f 导出的边函数 g_f(uv) = f(u) + f(v) 也是单射。
• 使用和集运算 A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} 从顶点标签定义边标签。
• 应用上取整函数推导基集大小的下界：对于 n 个顶点的图，|X| ≥ ⌈log₂(n+1)⌉。
• 建立对于 l-均匀集合索引的顶点，必须满足二项式系数 C(|X|, l) ≥ n。
• 证明子图、边收缩和初等拓扑约化均保持 IASI 性质。
• 分析线图和全图中的邻接条件，以确定强 IASI 是否可被继承。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有限简单图是否都可接受整数加法集合索引（IASI）？
• RQ2 在何种条件下图可接受弱或强 IASI，其对边集索引数有何影响？
• RQ3 弱或强 IASI 图的线图或全图是否可继承弱或强 IASI？
• RQ4 对于图 G，其可接受 IASI 的有限基集 X 的最小基数是多少？
• RQ5 IASI 是否可为集合优美或集合连续，其必要与充分条件是什么？

主要发现

• 每个有限简单图都可接受 IASI，通过使用 ℕ₀ 的不同非空子集构造单射标记函数证明。
• 对于 n 个顶点的图，其有限基集 X 的最小大小至少为 ⌈log₂(n+1)⌉，以确保有足够的不同非空子集。
• 对于 l-均匀集合索引的顶点集，基集必须满足 C(|X|, l) ≥ n，即其必须包含至少 n 个大小为 l 的子集。
• IASI 图的子图通过原标记函数的限制继承 IASI 性质。
• 强 IASI 图的线图和全图不接受强 IASI，因为邻接条件与差集条件存在冲突。
• 本文识别了关于 IASI 图中集合优美性和集合连续性的开放问题，为未来研究指明了方向。