[论文解读] On Integrability of Nonautonomous Nonlinear Schroedinger Equations

Sergeĭ K. Suslov|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 52被引用 8

一句话总结

本文提出了一种系统性方法，通过显式的时变变换，将具有时变二次哈密顿量的非自治、非齐次非线性薛定谔方程转化为标准自治非线性薛定谔方程。其核心贡献是利用一类Riccati型常微分方程组的解，构造出闭式变换，将问题简化为可通过反散射方法求解的完全可积形式，并明确建立了与广义谐振子格林函数的联系。

ABSTRACT

We show, in general, how to transform the nonautonomous nonlinear Schroedinger equation with quadratic Hamiltonians into the standard autonomous form that is completely integrable by the familiar inverse scattering method in nonlinear science. Derivation of the corresponding equivalent nonisospectral Lax pair is outlined. A few simple integrable systems are discussed.

研究动机与目标

• 建立一种通用方法，将具有二次哈密顿量的非自治、非齐次非线性薛定谔方程转化为标准自治形式。
• 确定此类变换实现完全可积性的必要且充分条件。
• 提供基于积分表达式的变换参数显式表达式，其依赖于一类Riccati型常微分方程组的解。
• 将变换与对应线性问题的格林函数建立联系，这一联系在以往文献中尚未被充分强调。
• 在特定可积系统上展示该方法，包括孤子解和Lax对构造。

提出的方法

• 变换通过规范变换和坐标变换定义：$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{\mu(t)}} e^{i(\alpha(t)x^2 + \delta(t)x + \kappa(t))} \chi(\xi,\tau)$，其中 $\xi = \beta(t)x + \varepsilon(t)$，$\tau = \gamma(t)$。
• 时变函数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \kappa$ 通过求解一组一阶常微分方程（2.6）–（2.11）确定，该组方程构成一类Riccati型系统。
• 通过代换 $\alpha = \frac{1}{4a(t)} \frac{\mu'(t)}{\mu(t)} - \frac{d(t)}{2a(t)}$，将Riccati系统约化为关于 $\mu(t)$ 的二阶线性常微分方程，得到方程（2.13）。
• 所得自治方程 $i\chi_\tau + h_0 |\chi|^2 \chi = \chi_{\xi\xi}$ 已知可通过反散射方法和Lax对方法实现完全可积。
• 该方法明确建立了变换与底层线性广义谐振子问题格林函数之间的联系。
• 该方法被应用于推导特定非自治系统（包括具有时变外势和非线性项的系统）的孤子解和Lax对。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有二次哈密顿量的非自治非线性薛定谔方程是否都能通过变换转化为标准自治可积形式？
• RQ2 将此类非自治系统映射到自治非线性薛定谔方程的变换的显式形式是什么？
• RQ3 变换参数如何与对应线性问题的格林函数相关联？
• RQ4 变换后非自治系统的等价Lax对具有何种结构？
• RQ5 该方法能否系统性地应用于推导特定非自治系统的孤子解和守恒律？

主要发现

• 在条件（2.6）–（2.11）下，具有时变系数的非自治非线性薛定谔方程（2.2）通过显式变换（2.4）被转化为标准自治形式 $i\chi_\tau + h_0 |\chi|^2 \chi = \chi_{\xi\xi}$。
• 变换参数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \kappa$ 通过求解Riccati型常微分方程组确定，该系统可约化为关于 $\mu(t)$ 的二阶线性常微分方程，如方程（2.13）所示。
• 该方法建立了变换与广义谐振子格林函数之间的直接联系，这一联系在以往文献中未被充分强调。
• 所得自治方程完全可积，可通过标准反散射技术获得 $N$-孤子解、守恒律以及等价Lax对。
• 具体示例中，包括由第二Painlevé方程控制的孤子解，其波包形式以非线性Airy函数 $A_{k_0}(\zeta)$ 及其渐近行为显式表达。
• 该方法具有普适性，适用于最广泛的具有二次哈密顿量的一维非自治、非齐次非线性薛定谔方程，如方程（2.2）和（2.3）所形式化。