[论文解读] On Integrable Systems & Rigidity for PDEs with Symmetry

Roy Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 48被引用 6

一句话总结

本论文提出了一套基于层论的可积系统对称性框架，利用Moser路径法与伪群理论，建立了PDE与泊松结构的局部刚性结果。核心贡献是针对可积系统非退化奇点的广义线性化定理，通过形变上同调与Nash-Moser迭代方法扩展了Eliasson的工作。

ABSTRACT

This thesis is divided into two parts. In the first part we study completely integrable systems, and their underlying structures, in detail. We study their deformation theory and the different equivalence relations surrounding it. We motivate the definition of weak equivalence (found in the literature) by studying different interpretations of the concept `singular Lagrangian foliation'. Finally, we prove a normal form theorem inspired by the Moser path method. In the second part we study the deformation theory of a PDE with a pseudogroup of symmetries in general. We prove that a solution is rigid if its deformation cohomology vanishes and certain `tame' estimates hold, inspired by the Nash-Moser fast convergence method. An essential detail is that this statements holds for local solutions of the PDE around a compact submanifold. We give alternative proofs for several classical normal form theorems, as applications. Key Words: completely integrable systems, singular foliations, singular Lagrangian foliations, closed pseudogroups, Lie algebra sheaves, geometric PDEs, local rigidity, normal forms, Nash-Moser, Moser path method, Newlander-Nirenberg, Eliasson.

研究动机与目标

• 建立可积系统对称性的层论基础，尤其关注奇异叶状结构及其几何结构。
• 通过形变上同调与伪群作用，推广Eliasson关于可积系统非退化奇点的线性化定理。
• 通过分析形变的上同调障碍，证明具有对称性的PDE的局部刚性结果。
• 在可积系统与泊松几何的统一框架下，统一并拓展经典结果，如Darboux定理与Newlander-Nirenberg定理。
• 利用Nash-Moser迭代与闭伪群，建立可积系统在非退化不动点附近的广义线性化定理。

提出的方法

• 使用层论建模可积系统产生的奇异叶状结构，特别关注哈密顿向量场的层与拉格朗日子叶状结构。
• 应用Moser路径法构造辛结构与动量映射之间的同伦，利用上同调类的同伦。
• 引入形变上同调以分类可积系统的无穷小形变，并分析线性化的障碍。
• 采用Nash-Moser迭代方案求解存在导数损失时的逆问题，这对具有对称性的非线性PDE至关重要。
• 将闭伪群作为PDE的对称群，构造其李代数层与自然丛，以研究局部不变量。
• 将理论应用于证明泊松结构、李代数与复结构的刚性定理，通过上同调群的消失性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可积系统的层论结构如何用于理解其在奇点附近的局部标准形？
• RQ2 形变上同调在确定可积系统在非退化不动点附近线性化的障碍中起什么作用？
• RQ3 伪群对称性在多大程度上控制PDE与泊松结构的刚性？
• RQ4 Moser路径法能否推广至具有对称性的非正则奇异可积系统？
• RQ5 Nash-Moser迭代方案如何解决可积系统对称性线性化中的导数损失问题？

主要发现

• 为可积系统非退化奇点建立了广义线性化定理，通过形变上同调将Eliasson的结果推广至一般情形。
• 证明了与可积系统相关的哈密顿向量场层同构于奇异叶状结构截面的层，提供了几何表征。
• 将Moser路径法适配于具有对称性的可积系统，实现了保持动量映射的辛同伦。
• 主要刚性定理证明：若形变复形的一阶与二阶上同调群消失，则系统在小扰动下是局部刚性的。
• 该理论将经典结果如Darboux定理与Newlander-Nirenberg定理作为一般框架下的特例恢复。
• 成功将Nash-Moser迭代方案应用于存在导数损失时的非线性逆问题，证明了在非退化不动点附近存在线性化微分同胚。