[论文解读] Moment maps, nonlinear PDE, and stability in mirror symmetry

Tristan C. Collins, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 66被引用 37

一句话总结

本文通過無限維GIT問題，為鏡像對稱中的變形赫爾米特-楊-Mills（dHYM）方程建立了一個變分框架，證明了在超臨界相位情形下弱測地線的存在性，且具有 $C^{1,\beta}$ 正則性。它將 $X \times \Delta$ 的雙有理模型中的代數不變量與 dHYM 解的障礙聯繫起來，顯示這些障礙與一個與布里吉斯戴爾穩定性密切相關的穩定性條件一致，並利用 торิก凱勒流形上的傅里葉-穆卡伊變換，描述了朗蘭茲-金茲堡模型中拉格朗日子的退化現象。

ABSTRACT

We study the deformed Hermitian-Yang-Mills (dHYM) equation, which is mirror to the special Lagrangian equation, from the variational point of view via an infinite dimensional GIT problem mirror to Thomas' GIT picture for special Lagrangians. This gives rise to infinite dimensional manifold $\mathcal{H}$ mirror to Solomon's space of positive Lagrangians. In the hypercritical phase case we prove the existence of smooth approximate geodesics, and weak geodesics with $C^{1,α}$ regularity. This is accomplished by proving sharp with respect to scale estimates for the Lagrangian phase operator on collapsing manifolds with boundary. We apply these results to the infinite dimensional GIT problem for deformed Hermitian-Yang-Mills. We associate algebraic invariants to certain birational models of $X imes Δ$, where $Δ\subset \mathbb{C}$ is a disk. Using the existence of regular weak geodesics we prove that these invariants give rise to obstructions to the existence of solutions to the dHYM equation. Furthermore, we show that these invariants fit into a stability framework closely related to Bridgeland stability. Finally, we use a Fourier-Mukai transform on toric Kähler manifolds to describe degenerations of Lagrangian sections of SYZ torus fibrations of Landau-Ginzburg models $(Y,W)$. We speculate on the resulting algebraic invariants, and discuss the implications for relating Bridgeland stability to the existence of special Lagrangian sections of $(Y,W)$.

研究动机与目标

• 統一鏡像對稱中 BPS brane 的三種方法：幾何特殊拉格朗日子、dHYM 方程與布里吉斯戴爾的范畴穩定性。
• 將 dHYM 方程形式化為無限維GIT問題，類比托馬斯對特殊拉格朗日子的GIT圖像。
• 從 $X \times \Delta$ 的雙有理模型構造代數不變量，以檢測 dHYM 方程解的障礙。
• 證明這些不變量對應於一個與布里吉斯戴爾穩定性類似的穩定性條件。
• 利用 торيك 凱勒流形上的傅里葉-穆卡伊變換，描述朗蘭茲-金茲堡模型 SYZ 纖維中拉格朗日子的退化現象。

提出的方法

• 將 dHYM 方程形式化為空間 $\mathcal{H}$ 上的無限維矩陣映射問題，該空間鏡像於索洛蒙的正拉格朗日流形空間。
• 在具有邊界的收縮流形上，對拉格朗日相位算子建立精確的尺度不變估計，以證明近似測地線的存在性。
• 在超臨界相位區域中，構造 $\mathcal{H}$ 內具有 $C^{1,\alpha}$ 正則性的弱測地線。
• 透過 $X \times \Delta$ 的雙有理模型定義代數不變量，其中 $\Delta \subset \mathbb{C}$ 為一圓盤，以檢測 dHYM 解的障礙。
• 在 toric 凱勒流形上應用傅里葉-穆卡伊變換，以描述朗蘭茲-金茲堡模型 SYZ 纖維中拉格朗日子的退化現象。
• 利用弱測地線的存在性，證明代數不變量會阻礙 dHYM 解的出現，並使其符合類似布里吉斯戴爾穩定性的框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 dHYM 方程能否被理解為類似於托馬斯對特殊拉格朗日子的 GIT 圖像的無限維 GIT 問題？
• RQ2 從 $X \times \Delta$ 的雙有理模型構造的代數不變量是否會阻礙 dHYM 方程的解？
• RQ3 是否存在一個與布里吉斯戴爾穩定性密切相關的穩定性條件，能表徵 dHYM 方程解的存在性？
• RQ4 朗蘭茲-金茲堡模型中拉格朗日子的退化現象與導出範疇中的代數不變量有何關係？
• RQ5 能否利用 toric 凱勒流形上的傅里葉-穆卡伊變換來描述拉格朗日子的鏡像退化現象及其與穩定性的關聯？

主要发现

• 作者證明了在 dHYM 方程的超臨界相位情形下，存在光滑近似測地線與具有 $C^{1,\alpha}$ 正則性的弱測地線。
• 在具有邊界的收縮流形上，對拉格朗日相位算子建立了精確的尺度不變估計，從而實現了弱測地線的構造。
• 與 $X \times \Delta$ 的雙有理模型相關的代數不變量被證明會阻礙 dHYM 方程的解。
• 這些不變量被證明可嵌入一個與布里吉斯戴爾穩定性密切相關的穩定性框架中，支持了關於穩定性與特殊拉格朗日子之間聯繫的傳說猜想。
• 利用 toric 凱勒流形上的傅里葉-穆卡伊變換，描述了朗蘭茲-金茲堡模型 SYZ 纖維中拉格朗日子的退化現象，所得拉格朗日子與鏡像預期一致。
• 推導出特殊拉格朗日子存在的必要條件 $\sin(\varphi(\tilde{L}_\infty) - \varphi(\tilde{L}_0)) < 0$，其與預期的布里吉斯戴爾穩定性條件相符。