[论文解读] On integral models of Shimura varieties

G. Pappas|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文通过定义具有抛物型结构的 ${\mathcal{G}}$-显示，引入了在抛物型水平结构下希米亚瓦族的典范积分模型。在满足可 tame 假设的霍奇型情形下，证明了帕帕斯与基辛所构造的积分模型是典范的且与选择无关，基于一种新的具有 ${\mathcal{G}}$-结构的显示理论。

ABSTRACT

We show how to characterize integral models of Shimura varieties over places of the reflex field where the level subgroup is parahoric by formulating a definition of a "canonical" integral model. We then prove that in Hodge type cases and under a tameness hypothesis, the integral models constructed by the author and Kisin in previous work are canonical and, in particular, independent of choices. A main tool is a theory of displays with parahoric structure that we develop in this paper.

研究动机与目标

• 在水平子群为抛物型的素数处，为希米亚瓦族定义一个典范积分模型。
• 解决长期存在的全局刻画积分模型并证明其与构造选择无关的问题。
• 将“典范”模型的概念从超特殊水平下的光滑情形推广到奇异的抛物型情形。
• 确立帕帕斯与基辛在可 tame 抛物型素数下对霍奇型希米亚瓦族所构造的积分模型为典范且与选择无关。
• 发展具有 ${\mathcal{G}}$-结构的显示理论，作为该刻画的基础工具。

提出的方法

• 通过具有 ${\mathcal{G}}$-结构的 ${\mathcal{G}}$-显示（即带有 ${\mathcal{G}}$-结构的过滤弗罗贝尼乌斯模）的存在性，定义一个典范积分模型，其中 ${\mathcal{G}}$ 是与水平子群相关的抛物型群概形。
• 在积分模型上构造普遍 $p$-可除群，并利用其狄奥多内晶体定义一个 ${\rm GL}$-显示。
• 利用狄奥多内模中的弗罗贝尼乌斯不变张量，将 ${\mathcal{G}}$-扭量丛结构从特殊纤维提升至 $p$-进完备化。
• 通过狄奥多内模与固定格点之间张量的同构，在希米亚瓦族的形式完备化上构造一个 ${\mathcal{G}}$-扭量丛。
• 利用局部模型图和 ${\mathcal{G}}$-等变性，在积分模型上定义 ${\mathcal{G}}$-显示的结构。
• 应用狄奥多内理论与 ${\mathcal{G}}$-显示之间的字典，将弗罗贝尼乌斯结构上抬并验证显示公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在水平结构为抛物型且光滑约化失效的希米亚瓦族中，能否唯一刻画一个典范积分模型？
• RQ2 帕帕斯与基辛为具有抛物型水平结构的霍奇型希米亚瓦族所构造的积分模型是否与构造中的选择无关？
• RQ3 “典范”模型的概念能否从超特殊水平下的光滑情形推广到奇异的抛物型情形？
• RQ4 具有抛物型结构的 ${\mathcal{G}}$-显示的存在性是否能唯一刻画一个希米亚瓦族的积分模型？
• RQ5 显示理论能否被推广以包含 $\mathbb{Z}_p$ 上约化群的 ${\mathcal{G}}$-结构？

主要发现

• 帕帕斯与基辛所构造的具有抛物型水平结构的希米亚瓦族的积分模型在定义 7.1.3 的意义下是典范的，即它们支持唯一的关联 $({\mathcal{G}},{\rm M}^{{\rm loc}})$-显示。
• 这些模型在构造中与选择无关，因为典范结构由 ${\mathcal{G}}$-显示的存在性唯一确定。
• 在模型的形式完备化上存在局部普遍关联系统的事实，意味着存在一个 $({\mathcal{G}},{\rm M}^{{\rm loc}})$-显示。
• 在模型上普遍 $p$-可除群的狄奥多内晶体导出一个 ${\rm GL}$-显示，该显示通过张量相容性被上抬为一个 ${\mathcal{G}}$-显示。
• ${\mathcal{G}}$-扭量丛结构在形式完备化上通过狄奥多内模与固定格点之间张量的同构构造，确保与局部模型的相容性。
• 狄奥多内模上的弗罗贝尼乌斯结构诱导出一个良定义的 ${\mathcal{G}}$-等变同构，完成显示结构并验证其典范性质。