[论文解读] On Jones Subgroup of R. Thompson's Group $T$

Jordan Nikkel, Yunxiang Ren|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文全面刻画了琼斯在汤普森群 $T$ 中的子群 $τ T$，证明其与在 $T$ 中的共轭子群重合，从而表明其对应的酉表示是不可约的。文章给出了 $τ T$ 作为环形图群的有限表示，并表明尽管通过蒂茨变换得到的表示形式相似，$τ T$ 与 $T_3$ 并不同构。

ABSTRACT

Jones introduced unitary representations for the Thompson groups $F$ and $T$ from a given subfactor planar algebra. Some interesting subgroups arise as the stabilizer of certain vector, in particular the Jones subgroups $\vec{F}$ and $\vec{T}$. Golan and Sapir studied $\vec{F}$ and identified it as a copy of the Thompson group $F_3$. In this paper we completely describe $\vec{T}$ and show that $\vec{T}$ coincides with its commensurator in $T$, implying that the corresponding unitary representation is irreducible. We also generalize the notion of the Stallings 2-core for diagram groups to $T$, showing that $\vec{T}$ and $T_3$ are not isomorphic, but as annular diagram groups they have very similar presentations.

研究动机与目标

• 使用图群理论和平面代数表示，全面刻画汤普森群 $T$ 中的琼斯子群 $τ T$。
• 证明 $τ T$ 与其在 $T$ 中的共轭子群重合，从而表明其关联的酉表示是不可约的。
• 将斯托林斯 2-核心构造从 $F$ 推广至 $T$，以用于子群分析。
• 为 $τ T$ 提供作为环形图群的有限表示。
• 表明 $τ T$ 与 $T_3$ 不同构，尽管它们的表示通过蒂茨变换相关。

提出的方法

• 利用汤普森图定义并分析 $τ T$，借助二分图条件判断成员资格。
• 为 $T$ 的子群构造斯托林斯 2-核心，将 $F$ 中的方法推广至环形图群。
• 将 2-核心构造应用于 $τ T$，证明其等于自身的核心，从而得出其作为环形图群的有限表示。
• 利用核心结构推导出 $τ T$ 的生成元与关系的有限表示。
• 通过比较 $τ T$ 与 $T_3$ 的环形图群表示，并分析群论不变量（如元素阶数）来比较二者。
• 利用二进制有理数的奇偶性及树对表示的奇偶性论证，证明 $τ T$ 与 $T_3$ 不同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 琼斯子群 $τ T$ 是否与其在 $T$ 中的共轭子群重合？这对关联的酉表示有何含义？
• RQ2 斯托林斯 2-核心构造能否从 $F$ 推广至 $T$？它如何帮助分析 $T$ 的子群？
• RQ3 作为环形图群，$τ T$ 的有限表示是什么？
• RQ4 尽管通过蒂茨变换得到的表示形式相似，$τ T$ 与 $T_3$ 是否同构？
• RQ5 在 $[0,1)$ 中的二进制有理数的二进制数字之和的奇偶性与 $τ T$ 之间存在何种精确关系？

主要发现

• 琼斯子群 $τ T$ 与其在 $T$ 中的共轭子群重合，这表明其关联的 $T$ 的酉表示是不可约的。
• $τ T$ 恰好是 $T$ 中所有满足：当以二进制表示 $[0,1)$ 中所有二进制有理数时，其所有二进制数字之和的奇偶性保持不变或被交换的元素的集合。
• 子群 $τ T$ 的斯托林斯 2-核心等于 $τ T$ 自身，这为其作为环形图群的有限表示提供了依据。
• $τ T$ 允许作为环形图群的有限表示：$τ T = π^a(σ, \tau)$，关系为 $e = ff$，$f = fe$，基生成元为 $e$，其中 $σ, \tau$ 为特定的图词。
• 尽管 $τ T$ 与 $T_3$ 的表示仅通过一次蒂茨变换相关，二者仍不同构，因为 $T_3$ 不含阶为二的元素，而 $τ T$ 含有。
• 非同构性的证明依赖于三叉树对表示中叶节点数的奇偶性论证，若 $T_3$ 中存在阶为二的元素，则会产生矛盾。