[论文解读] On length spectrum metrics and weak metrics on Teichmueller spaces of surfaces with boundary

Lixin Liu, Athanase Papadopoulos+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文基于曲面上必要简单闭曲线与正规嵌入弧的双曲长度，引入并分析了带边曲面的Teichmüller空间上的长度谱度量与弱度量。研究证明这些度量在Teichmüller空间上诱导相同的拓扑，通过加倍构造并比较空间的厚部分，将闭曲面的已知结果推广至带边曲面。

ABSTRACT

We define and study metrics and weak metrics on the Teichmueller space of a surface of topologically finite type with boundary. These metrics and weak metrics are associated to the hyperbolic length spectrum of simple closed curves and of properly embedded arcs in the surface. We give a comparison between the defined metrics on regions of Teichmueller space which we call $\varepsilon_0$-relative $ε$-thick parts} for $ε>0$ and $\varepsilon_0\geq ε>0$.

研究动机与目标

• 通过必要曲线与弧的双曲长度，定义并研究带边曲面Teichmüller空间上的长度谱度量与弱度量。
• 比较这些度量的拓扑行为，特别是在Teichmüller空间的ε₀-相对ε-厚部分。
• 通过加倍构造分析长度比的收敛性，将闭曲面的结果推广至带边曲面。
• 建立长度谱度量、其对称化形式以及弱度量在Teichmüller空间上诱导相同拓扑。

提出的方法

• 通过两个标记双曲结构之间必要曲线双曲长度之比，定义Teichmüller空间上的两个非对称弱度量d与d̄。
• 将d的对称化定义为长度谱度量d_L，即所有必要曲线长度比的对数上确界。
• 利用曲面S的加倍S^d，将S上的度量与闭曲面上的度量关联，借助文献中已知的收敛结果。
• 分析Teichmüller空间中ε₀-相对ε-厚部分的收敛性，其中所有必要曲线与弧的长度均有下界ε。
• 通过加倍映射与长度比极限关系，证明d、d̄、d_L与δ_L的收敛性等价。
• 通过加倍曲面的Fenchel-Nielsen坐标，证明任一这些度量中的收敛性均蕴含Teichmüller空间标准拓扑下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带边曲面Teichmüller空间上的长度谱度量与弱度量是否诱导与标准拓扑相同的拓扑？
• RQ2 对于ε > 0且ε₀ ≥ ε > 0，长度谱度量在Teichmüller空间的ε₀-相对ε-厚部分如何表现？
• RQ3 弱度量d的对称化是否在收敛性上等价于标准长度谱度量d_L？
• RQ4 弱度量d与d̄中的收敛性能否通过必要曲线与弧的长度比收敛性来刻画？
• RQ5 在此背景下，加倍构造是否保持度量等价性与拓扑收敛性？

主要发现

• 长度谱度量d_L与弱度量d、d̄在Teichmüller空间上诱导相同的拓扑，通过证明其收敛性等价性得以证实。
• d_L中的收敛性等价于所有必要曲线α的l_X(α)/l_X₀(α)的下确界与上确界均趋于1。
• 由长度比定义的对称化弱度量δ_L所诱导的拓扑，与d_L及标准拓扑一致。
• 在Teichmüller空间的ε₀-相对ε-厚部分，当ε > 0时，度量d_L与δ_L是统一等价的。
• 在度量d、d̄、d_L或δ_L中的任意一种收敛性，均蕴含Teichmüller空间标准拓扑下的收敛性，此结论通过加倍曲面与Fenchel-Nielsen坐标验证。
• 本文确认加倍构造保持度量等价性，从而可将闭曲面的结果推广至带边曲面。