[论文解读] On linear resolution of powers of an ideal

Keivan Borna|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2008

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文利用Rees代数提出一个通用准则，用以判断高次幂的分次理想何时具有线性解析。研究证明，在特征零下，对于两个特定理想 $J$ 和 $J_1$，除 $k=2$ 外所有幂次均具有线性解析，且正则性满足 $\mathrm{reg}(I^k) = dk$（$k \neq 2$），从而解决了关于渐近正则性行为的一个开放问题。

ABSTRACT

In this paper we give a generalization of a result of Herzog, Hibi, and Zheng providing an upper bound for regularity of powers of an ideal. As the main result of the paper, we give a simple criterion in terms of Rees algebra of a given ideal to show that high enough powers of this ideal have linear resolution. We apply the criterion to two important ideals $J,J_{1}$ for which we show that $J^{k},$ and $J_{1}^{k}$ have linear resolution if and only if $k eq 2.$ The procedures we include in this work is encoded in computer algebra package CoCoA.

研究动机与目标

• 推广Herzog、Hibi与Zheng关于理想幂次正则性界的结果。
• 基于Rees代数开发一种计算准则，用以判断理想高次幂是否具有线性解析。
• 解决关于两个特定理想 $J$ 与 $J_1$ 的幂次正则性行为的开放问题，特别是验证 $\mathrm{reg}(I^k) = 3k$ 是否对所有 $k \neq 2$ 成立。
• 使用CoCoA软件包对 $J^k$ 与 $J_1^k$ 的正则性及Betti数进行显式计算验证。

提出的方法

• 使用Römer公式将 $I^k$ 的正则性与Rees代数 $R(I)$ 的 $x$-正则性关联：$\mathrm{reg}(I^k) \leq kd + \mathrm{reg}_x(R(I))$。
• 应用双分次坐标变换 $g = g_1 \times g_2$，将Rees环的定义理想转换为可分析初始理想的形态。
• 计算Rees环定义理想 $P$ 的初始理想 $\mathrm{in}(g(P))$，将其分解为 $G + B$，其中 $G$ 生成 $x$-部分，$B$ 生成 $t$-部分。
• 通过验证某些属于 $B$ 的单项式可乘入 $G$，确认对所有 $k > 2$ 有 $I_{(k,\star)} = G_{(k,\star)}$，从而保证 $\mathrm{reg}(I^k) = dk$。
• 利用CoCoA计算机代数系统执行显式Gröbner基计算，并验证线性解析的条件。
• 利用 $J$ 与 $J_1$ 的Rees代数具有相同的多分次Hilbert级数，证明其所有幂次的Betti数完全相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种理想 $I$ 的条件下，其所有足够高的幂次 $I^k$ 均具有线性解析？
• RQ2 对于对应于 $\mathbb{P}^2$ 三角剖分的理想 $J$，其 $J^k$ 的精确正则性是多少（对所有 $k$）？
• RQ3 是否存在一个次数为 $d$ 的理想 $Q$，使得对所有 $k \neq 3$ 或 $k \neq 2,3$ 均有 $\mathrm{reg}(Q^k) = dk$？
• RQ4 如何利用理想的Rees代数来算法化地确定其幂次的正则性？

主要发现

• 对于由6个变量上的10个三次单项式定义的理想 $J$，在特征零下，对所有 $k \neq 2$ 均有 $\mathrm{reg}(J^k) = 3k$。
• 对于相关理想 $J_1$，对所有 $k \neq 2$ 同样有 $\mathrm{reg}(J_1^k) = 3k$，其正则性行为与 $J^k$ 完全一致。
• 第二幂次 $J^2$ 满足 $\mathrm{reg}(J^2) = 7 > 6 = 2 \times 3$，表明在 $k=2$ 处出现正则性跃迁，此为唯一例外。
• $J$ 与 $J_1$ 的Rees环具有相同的多分次Hilbert级数，意味着对所有 $i,j,k$ 均有 $\beta_{i,j}(J^k) = \beta_{i,j}(J_1^k)$。
• 基于 $\mathrm{reg}_x(R(I)) = 0$ 的准则，对所有高次幂具有线性解析是必要且充分的。
• 通过CoCoA进行的计算验证表明，对 $J$ 与 $J_1$ 均有 $I_{(k,\star)} = G_{(k,\star)}$（$k > 2$），从而验证了线性解析的结论。