[论文解读] On local scale invariance and the questionable theoretical basis of the conformal transformations' issue

Israel Quirós, Roberto De Arcia|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry被引用 7

一句话总结

本文通过证明当标量-张量引力理论与物质耦合时，Brans-Dicke 及类似理论并非真正具有共形不变性（因出现反常），从而挑战了共形框架等价性的理论基础。文章认为，唯有标度单位在每一点变化的 Weyl-可积时空才能支持真正的共形不变性，从而导致物理上等价但不同的宇宙以及虫洞解，而非奇点，因此解决了标准形式中长期存在的悖论。

ABSTRACT

Here we follow the mainstream of thinking about physical equivalence of different representations of a theory, regarded as the consequence of invariance of the laws of physics -- represented by an action principle and the derived motion equations -- under given transformations; be it coordinate, gauge or conformal transformations. Accordingly the conformal transformations' issue is discussed by invoking the assumed invariance of the laws of physics -- in particular the laws of gravity -- under conformal transformations of the metric. It is shown that Brans-Dicke and scalar-tensor theories are not well-suited to address physical equivalence of the conformal frames since the corresponding laws of gravity are not invariant under the conformal transformations or Weyl rescalings. The search for conformal symmetry leads us to explore the physical consequences of Weyl-invariant theories of gravity, that represent a natural arena where to discuss on physical equivalence of the conformally related representations. We show that conformal invariance of the action of a (supposedly conformal invariant) theory and of the derived motion equations is not enough to ensure actual Weyl invariance. It is required, also, that the underlying geometrical structure of the background spacetime be, at least, Weyl-integrable. Otherwise, if assume (as usual) spacetimes of (pseudo)Riemannian geometrical structure, the resulting -- apparently conformal invariant -- theory is anomalous in that, only massless matter fields can be consistently coupled. Gauge freedom, a distinctive feature of actually Weyl-invariant theories of gravity, leads to very unusual consequences.

研究动机与目标

• 挑战标量-张量引力理论中不同共形框架之间物理等价性的广泛接受观念。
• 识别在标准（伪）黎曼时空下假设共形不变性的理论缺陷，特别是针对 Brans-Dicke 和标量-张量理论。
• 确立唯有 Weyl-可积几何——其中尺度单位在每一点变化——才能一致地支持引力中的共形不变性。
• 通过展示在无反常、共形不变的理论中，奇点消失的虫洞等悖论性物理后果自然出现，从而解决这些悖论。
• 通过区分数学等价性与在 Weyl 对称性下的物理一致性，澄清共形框架的物理意义。

提出的方法

• 分析在度量共形重标度 $ g_{\mu\nu} \to \Omega^{-2}g_{\mu\nu} $ 下几何对象（克里斯托费尔符号、里奇张量、曲率标量）的变换规律。
• 推导标量场的达朗贝尔算子和爱因斯坦张量在共形变换下的变换，以评估场方程的不变性。
• 指出仅共形不变的行动不足以保证不变性；时空必须是 Weyl-可积的，才能实现真正的 Weyl 对称性。
• 应用量子场论中矩阵元有限性的要求（通过 Callan 的论证）表明，量子修正会诱导非最小耦合，因此从一开始就必须采用标量-张量理论。
• 在 Weyl-可积引力中研究宇宙学和球对称解，以探索多重等价宇宙和无奇点虫洞等物理后果。
• 利用超曲面上外曲率的变换分析边界项及正则形式的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 标量-张量引力中不同共形框架之间的物理等价性是否为有效概念，还是基于有缺陷的理论基础？
• RQ2 为何标准标量-张量理论（如 Brans-Dicke）尽管作用量看似不变，却无法支持真正的共形不变性？
• RQ3 何种几何结构是理论真正共形不变所必需的？为何（伪）黎曼几何不足以支持？
• RQ4 Weyl 不变量引力理论在宇宙学和黑洞物理中的物理后果是什么？
• RQ5 量子场论中矩阵元有限性的要求如何导致标量-张量引力的出现？

主要发现

• Brans-Dicke 及标准标量-张量理论并非共形不变，因为其场方程在 Weyl 重标度下不保持不变，与物质耦合时会产生反常。
• 唯有定义在 Weyl-可积时空中——其中尺度单位在每一点变化——的理论才能支持真正的共形不变性，这是实现框架物理等价性的必要条件。
• 在 Weyl-可积引力中，宇宙学膨胀并非唯一确定；相反，存在无穷多个物理上等价的共形宇宙，使得‘哪一个是我们自己的宇宙’这一问题具有意义。
• 在共形不变引力中，静态球对称黑洞在物理上等价于无奇点虫洞，而这种结果在标准标量-张量理论中并不存在。
• 量子场论中矩阵元有限性的要求意味着应力-能量张量必须被修正，这会诱导非最小耦合，从而从一开始就要求采用标量-张量理论，因此假设纯广义相对论加标量场的设定是无效的。
• 仅作用量的共形不变性不足以保证理论一致性；底层时空几何必须是 Weyl-可积的，以避免反常并确保物质场的耦合一致。