[论文解读] Scale invariance vs conformal invariance

Yu Nakayama|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 127被引用 27

一句话总结

本文研究了相对论性量子场论中尺度不变性与共形不变性之间的关系，证明在四维情况下，在幺正性、因果性及其他技术条件下，尺度不变性蕴含共形不变性。作者通过高维c-定理的类比提供了微扰证明，并基于能量条件与微分同胚不变性提供了全息论证，暗示了重整化群与时空结构之间存在深刻联系。

ABSTRACT

In this review article, we discuss the distinction and possible equivalence between scale invariance and conformal invariance in relativistic quantum field theories. Under some technical assumptions, we can prove that scale invariant quantum field theories in $d=2$ dimension necessarily possess the enhanced conformal symmetry. The use of the conformal symmetry is well appreciated in the literature, but the fact that all the scale invariant phenomena in $d=2$ dimension enjoy the conformal property relies on the deep structure of the renormalization group. The outstanding question is whether this feature is specific to $d=2$ dimension or it holds in higher dimensions, too. As of January 2014, our consensus is that there is no known example of scale invariant but non-conformal field theories in $d=4$ dimension under the assumptions of (1) unitarity, (2) Poincaré invariance (causality), (3) discrete spectrum in scaling dimension, (4) existence of scale current and (5) unbroken scale invariance in the vacuum. We have a perturbative proof of the enhancement of conformal invariance from scale invariance based on the higher dimensional analogue of Zamolodchikov's $c$-theorem, but the non-perturbative proof is yet to come. As a reference we have tried to collect as many interesting examples of scale invariance in relativistic quantum field theories as possible in this article. We give a complementary holographic argument based on the energy-condition of the gravitational system and the space-time diffeomorphism in order to support the claim of the symmetry enhancement. We believe that the possible enhancement of conformal invariance from scale invariance reveals the sublime nature of the renormalization group and space-time with holography.

研究动机与目标

• 阐明量子场论中尺度不变性与共形不变性的数学与物理区别。
• 研究在标准物理假设下，四维量子场论中的尺度不变性是否必然蕴含共形不变性。
• 利用高维c-定理的类比，提供共形对称性增强的微扰证明。
• 探讨全息理论与能量条件在支持对称性增强猜想中的作用。
• 整理并分析已知的尺度不变但非共形场论实例，特别是高维情况下的例子。

提出的方法

• 使用局部重整化群框架分析能量-动量张量的迹及其异常维数。
• 应用Weyl异常与共形微扰理论，研究耦合常数在尺度变换下的行为。
• 利用a-定理（通过a-最大化与标量粒子散射振幅）约束d=4中的重整化群流。
• 利用全息对偶性，将对称性增强与引力理论中的零能量条件联系起来。
• 通过交叉对称性、幺正性与S矩阵的解析性，推导散射振幅的约束。
• 分析有效作用量中的反项，以评估在无共形不变性下尺度不变性的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有Poincaré对称性与离散谱的四维幺正量子场论中，尺度不变性是否必然蕴含共形不变性？
• RQ2 能否将d=4中从尺度对称性到共形对称性的微扰增强推广至非微扰证明？
• RQ3 能量-动量张量的迹及其异常维数在区分尺度不变性与共形不变性中起什么作用？
• RQ4 基于引力能量条件的全息论证如何支持或挑战对称性增强的猜想？
• RQ5 标量粒子散射振幅能否为尺度不变固定点中存在共形对称性的物理可观测量提供检验？

主要发现

• 在d=2中，由于Zamolodchikov-Polchinski定理与c-定理的存在，尺度不变性蕴含共形不变性。
• 在d=4中，在幺正性、因果性与离散谱假设下，尚未发现尺度不变但非共形的量子场论实例。
• 通过高维c-定理的类比，建立了共形对称性增强的微扰证明。
• 全息论证表明，引力中零能量条件的破坏可能导致尺度不变但非共形的场论，但此类模型在标准能量条件下被排除。
• 标量粒子散射振幅满足交叉对称性与幺正性约束，支持尺度不变固定点处共形不变性的自洽性。
• a-定理为沿重整化群流的中心荷单调性提供了非微扰框架，强化了对称性增强的猜想。