[论文解读] On Maximizing Sums of Non-Monotone Submodular and Linear Functions

Benjamin Qi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

本文提出了针对正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）和正则化约束子模最大化（RegularizedCSM）的改进型(α, β)-近似算法，其中目标函数为一个非单调且非负的子模函数与一个线性函数之和。通过扩展连续贪心和双重贪心技术，该方法在无约束线性项方面实现了更优的近似因子，并利用对称间隙方法建立了紧致的不可近似性界限，包括在β=1时的0.408不可近似性结果。

ABSTRACT

We study the problem of Regularized Unconstrained Submodular Maximization (RegularizedUSM) as defined by Bodek and Feldman [BF22]. In this problem, you are given a non-monotone non-negative submodular function $f:2^{\mathcal N} o \mathbb R_{\ge 0}$ and a linear function $\ell:2^{\mathcal N} o \mathbb R$ over the same ground set $\mathcal N$, and the objective is to output a set $T\subseteq \mathcal N$ approximately maximizing the sum $f(T)+\ell(T)$. Specifically, an algorithm is said to provide an $(α,β)$-approximation for RegularizedUSM if it outputs a set $T$ such that $\mathbb E[f(T)+\ell(T)]\ge \max_{S\subseteq \mathcal N}[α\cdot f(S)+β\cdot \ell(S)]$. We also study the setting where $S$ and $T$ are subject to a matroid constraint, which we refer to as Regularized Constrained Submodular Maximization (RegularizedCSM). For both RegularizedUSM and RegularizedCSM, we provide improved $(α,β)$-approximation algorithms for the cases of non-positive $\ell$, non-negative $\ell$, and unconstrained $\ell$. In particular, for the case of unconstrained $\ell$, we are the first to provide nontrivial $(α,β)$-approximations for RegularizedCSM, and the $α$ we obtain for RegularizedUSM is superior to that of [BF22] for all $β\in (0,1)$. In addition to approximation algorithms, we provide improved inapproximability results for all of the aforementioned cases. In particular, we show that the $α$ our algorithm obtains for RegularizedCSM with unconstrained $\ell$ is tight for $β\ge \frac{e}{e+1}$. We also show 0.478-inapproximability for maximizing a submodular function where $S$ and $T$ are subject to a cardinality constraint, improving the long-standing 0.491-inapproximability result due to Gharan and Vondrak [GV10].

研究动机与目标

• 为正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）和正则化约束子模最大化（RegularizedCSM）开发改进的近似算法，其目标是最大化一个非单调非负子模函数与一个线性函数之和。
• 弥合已知近似保证与不可近似性界限之间的差距，特别是针对无约束线性函数的情况。
• 利用对称间隙技术提供更紧致的不可近似性结果，尤其针对无约束线性项的情形。
• 将现有方法如连续贪心和双重贪心扩展至处理具有通用线性正则化的非单调子模函数。
• 探索正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）的近似极限，特别是当线性函数可正可负时。

提出的方法

• 将连续贪心与双重贪心框架扩展至处理具有任意线性正则化的非单调子模函数。
• 通过修改目标函数与对称间隙分析推导不可近似性界限，尤其针对无约束线性项。
• 采用受Feldman [Fel18] 启发的失真技术，消除算法流程中对猜测步骤的依赖。
• 利用广义超边构造作为困难实例，以证明不可近似性，尤其针对β=1的情形。
• 通过优化参数p, q, κ及线性项lp, lq，最小化近似值与最优值之比，推导不可近似性界限。
• 通过方向割函数的渐近分析（k→∞）近似目标函数的连续松弛。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为具有非正线性函数的正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）实现(0.5, β)-近似？
• RQ2 是否存在针对具有无约束线性函数的正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）的(ϵ, 1)-近似算法？
• RQ3 当线性函数无约束时，正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）中(α, 1)-近似的最佳可能α值是多少？
• RQ4 对称间隙技术能否进一步优化，以弥合无约束线性项下近似与不可近似性之间的差距？
• RQ5 针对具有无约束线性函数的正则化约束子模最大化（RegularizedCSM），其紧致的不可近似性界限是什么？

主要发现

• 本文为具有无约束线性函数的正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）实现了(0.4392, 1)-不可近似性结果，优于先前的0.478不可近似性界限。
• 对于具有无约束线性函数的正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM），本文在β=1时建立了0.408不可近似性结果，这是该情形下目前已知最紧的下界。
• 与Bodek和Feldman [BF22] 相比，该算法在所有β∈(0,1)下均提供了更优的α-近似，尤其在无约束线性项方面显著提升了近似因子。
• 对于具有无约束线性函数的正则化约束子模最大化（RegularizedCSM），本文首次提出了非平凡的(α, β)-近似算法，且当β≥e/(e+1)时α为紧致。
• 通过使用对称间隙技术，本文将非单调约束子模最大化（CSM）在基数约束下的不可近似性界限从0.491改进至0.478。
• 本文表明，正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）的(1, ε)-不可近似性仍为开放问题，但提供了强有力的证据表明该界限可能不可达。