[论文解读] On McKay Quiver and Covering Spaces

Jin Yun Guo|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文证明了，当有限子群 $G$ 的所有不可约特征标均可提升至 $G$ 时，$ G$ 在 $ \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 中的 McKay quiver 可作为其 $ \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$-核 $N$ 的 McKay quiver 的正则覆叠。此外，本文还表明，通过自然映射将 $G$ 嵌入 $ \mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ 会通过 Nakayama 转移在每个顶点添加一个环，从而生成新的 McKay quiver。这些构造解释了表示论与理论物理中已知的 quiver，包括 $ \tilde{A}_n$ 和 D-brane quiver。

ABSTRACT

In this paper, we study the relationship between the McKay quivers of a finite subgroups $G$ of special linear groups general linear groups, via some natural extension and embedding. We show that the McKay quiver of certain extension of a finite subgroup $G$ of $\mathrm{SL}(m,\mathbb C)$ in $\mathrm{GL}(m,\mathbb C)$ is a regular covering of the McKay quiver of $G$, and when embedding $G$ in a canonical way into $\mathrm{GL}(m-1,\mathbb C)$, the new McKay quiver is obtained by adding an arrow from the Nakayama translation of $i$ back to $i$ for each $i$. We also show that certain interesting examples of McKay quivers are obtained in these two ways.

研究动机与目标

• 澄清有限子群 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 与 $ \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$ 的 McKay quiver 之间的关系。
• 证明 $ \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 扩张的有限 $ \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$ 子群的 McKay quiver 是原始 quiver 的正则覆叠。
• 证明将 $ \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 群嵌入 $ \mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ 会通过 Nakayama 转移添加环，从而生成新的 McKay quiver。
• 为表示论与弦理论中的已知 quiver（如 $ \tilde{A}_n$ 与 D-brane quiver）提供统一的构造方法。
• 建立 McKay quiver 的万有覆叠可通过这些构造实现，从而将表示论与拓扑联系起来。

提出的方法

• 利用行列式同态 $\mathrm{det}: G \to \mathbb{C}^*$ 证明 $G/N$ 是循环群，其中 $N = G \cap \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$。
• 应用 $N$ 的所有不可约特征标均可提升至 $G$ 的条件，构造从 $G$ 的 McKay quiver 到 $N$ 的 McKay quiver 的正则覆叠映射，覆叠群为 $G/N$。
• 通过映射 $f$ 定义 $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 到 $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ 的自然嵌入，该映射会平移表示空间。
• 证明新 McKay quiver 是通过从每个顶点 $i$ 到其 Nakayama 转移 $\tau(i)$ 添加一条箭头得到的。
• 使用万有覆叠空间构造，将外代数上的斜群代数的表示理论联系起来。
• 将这些构造应用于生成已知 quiver，包括 $ \tilde{A}_n$ 的双 quiver 与 D-brane 物理中的 quiver。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 有限子群 $G$ 的 McKay quiver 是其 $ \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$-核 $N$ 的正则覆叠？
• RQ2 将 $ \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 的有限子群嵌入 $ \mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ 如何改变其 McKay quiver？
• RQ3 Nakayama 转移在构造 $ \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 子群的 McKay quiver 中起什么作用？
• RQ4 能否系统地从 $ \mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$ 子群的 McKay quiver 构造出仿射 Dynkin 图 $ \tilde{A}_n$ 的双 quiver？
• RQ5 这些构造如何解释 D-brane 物理中出现的 McKay quiver，如 $ \mathbb{P}^{1,1,1,1,2}$ 的情况？

主要发现

• 当 $N$ 的所有不可约特征标均可提升至 $G$ 时，$G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 的 McKay quiver 是 $N = G \cap \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$ 的 McKay quiver 的正则覆叠，覆叠群为 $G/N$。
• 当 $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 通过自然映射 $f$ 嵌入 $ \mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$ 时，所得 McKay quiver 是通过从每个顶点 $i$ 到其 Nakayama 转移 $\tau(i)$ 添加一个环得到的。
• 仿射 Dynkin 图 $ \tilde{A}_{n-1}$ 的双 quiver 是通过将 $ \mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$ 中的平凡群扩展，并嵌入 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 构造出的 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 有限子群的 McKay quiver 得到的。
• $\mathbb{P}^{1,1,1,1,2}$ 在 D-brane 理论中的 McKay quiver 是通过将 $ \mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$ 中的平凡群与 $ \mathrm{GL}(4,\mathbb{C})$ 中阶为 6 的循环群扩展，然后嵌入 $ \mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$，通过 Nakayama 转移添加环而构造的。
• 有限子群在 $ \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 中的唯一 3-McKay quiver（含 4 个顶点）是通过对 $ \tilde{A}_1$ 的双 quiver 应用 Nakayama 转移构造得到的。
• 通过这些方法可构造 McKay quiver 的万有覆叠，得到一个单连通 quiver，从而解释了 $m=2$ 情况下的早期结果。