[论文解读] On morphisms of compact Kähler manifolds with semi-positive holomorphic sectional curvature

Shin‐ichi Matsumura|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文通过证明到具有伪有效 canonical 丛的流形的态射是光滑浸入、像在复环面上有有限 étale 覆盖，且当流形为射影时纤维彼此同构，建立了具有半正全纯截面曲率的紧致 Kähler 流形的结构定理。该研究推广了丘猜想，表明若此类流形无真正平坦切向量，则其为有理连通；并证明了具有半正全息截面曲率的紧致 Kähler 曲面的统一化定理。

ABSTRACT

In this paper, with the aim of establishing a structure theorem for a compact Kähler manifold $X$ with semi-positive holomorphic sectional curvature, we study a morphism $ϕ: X o Y$ to a compact Kähler manifold $Y$ with pseudo-effective canonical bundle. We prove that the morphism $ϕ$ is always smooth (that is, a submersion), the image $Y$ admits a finite etale cover $T o Y$ by a complex torus $T$, and further that all the fibers are isomorphic when $X$ is projective. Moreover, by applying a modified method to maximal rationally connected fibrations, we show that $X$ is rationally connected, if $X$ is projective and $X$ has no truly flat tangent vectors at some point (which is satisfied when the holomorphic sectional curvature is quasi-positive). This result gives a generalization of Yau's conjecture. As a further application, we obtain a uniformization theorem for compact Kähler surfaces with semi-positive holomorphic sectional curvature.

研究动机与目标

• 建立具有半正全息截面曲率的紧致 Kähler 流形的结构定理。
• 推广丘关于具有正全息截面曲率流形的有理连通性猜想。
• 将莫克关于拟正双截面曲率的结果扩展到全息截面曲率的设定。
• 研究此类流形到具有伪有效 canonical 丛的紧致 Kähler 流形的态射的几何性质。
• 证明具有半正全息截面曲率的紧致 Kähler 曲面的统一化定理。

提出的方法

• 分析从具有半正全息截面曲率的紧致 Kähler 流形 X 到具有伪有效 canonical 丛的紧致 Kähler 流形 Y 的态射 φ:X→Y。
• 应用改进的方法研究最大有理连通（MRC）纤维丛，以分析像的维数与纤维结构。
• 引入不变量 n_tf(X,g) = dim X − inf_p dim V_flat,p，用于度量真正平坦切向量的最大维数。
• 利用真正平坦切向量与 RC 正性的概念，将曲率正性与有理连通性联系起来。
• 应用经典 Ehresmann 定理，证明椭圆曲线上规则曲面的万有覆盖为 C×P¹。
• 在假设反 canonical 丛为 nef 的前提下，借助 Cao-Höring [CH17] 的结构定理，确认了猜想 1.3。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有半正全息截面曲率的紧致 Kähler 流形的最大有理连通纤维丛选择一个态射？
• RQ2 MRC 纤维丛下像的切丛的拉回是否确定一个可积叶状结构？
• RQ3 MRC 纤维丛的纤维是否具有 Kähler 度量，使得其 n_tf 不变量等于其维数？
• RQ4 此类纤维丛是否满足 dim X = dim Y + n_tf(X,g)？
• RQ5 在何种条件下，具有半正全息截面曲率的紧致 Kähler 流形自动为射影且有理连通？

主要发现

• 当 X 具有半正全息截面曲率且 Y 具有伪有效 canonical 丛时，态射 φ:X→Y 总是光滑的（即浸入）。
• 像 Y 允许一个复环面 T 的有限 étale 覆盖，意味着 Y 在有限无分支覆盖下是阿贝尔流形。
• 当 X 为射影时，该态射的所有纤维彼此同构，表明其具有局部平凡纤维丛结构。
• 若 n_tf(X,g) = dim X，则 X 为有理连通，此条件在全息截面曲率为拟正时成立。
• 为具有半正全息截面曲率的紧致 Kähler 曲面建立了统一化定理，表明若其为椭圆曲线上的规则曲面，则其万有覆盖为 C×P¹。
• 通过结合定理 1.4 与 Cao-Höring 的结构定理，已肯定解决射影流形在反 canonical 丛为 nef 时的猜想 1.3。