[论文解读] On multidimensional Mandelbrot's cascades

Dariusz Buraczewski, Ewa Damek+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文通过在ℝᵈ中的适当闭凸锥上分析光滑变换的不动点，将一维Mandelbrot级联理论推广到高维。在𝔼[N]𝔼[A]的主导特征值为1的条件下，证明了具有多维正则变异性质的非平凡不动点的存在性，确定了正则变异性指数，并将Kahane、Peyrière和Guivarc’h的结果推广到非负、不可逆矩阵的多维情形。

ABSTRACT

Let $Z$ be a random variable with values in a proper closed convex cone $C\\subset \\mathbb{R}^d$, $A$ a random endomorphism of $C$ and $N$ a random integer. We assume that $Z$, $A$, $N$ are independent. Given $N$ independent copies $(A_i,Z_i)$ of $(A,Z)$ we define a new random variable $\\hat Z = \\sum_{i=1}^N A_i Z_i$. Let $T$ be the corresponding transformation on the set of probability measures on $C$ i.e. $T$ maps the law of $Z$ to the law of $\\hat Z$. If the matrix $\\mathbb{E}[N] \\mathbb{E} [A]$ has dominant eigenvalue 1, we study existence and properties of fixed points of $T$ having finite nonzero expectation. Existing one dimensional results concerning $T$ are extended to higher dimensions. In particular we give conditions under which such fixed points of $T$ have multidimensional regular variation in the sense of extreme value theory and we determine the index of regular variation.

研究动机与目标

• 将一维Mandelbrot级联理论通过随机矩阵积在凸锥中的应用推广到高维。
• 建立光滑变换在ℝᵈ中具有有限非零期望的非平凡不动点存在的条件。
• 通过多维正则变异性刻画此类不动点的尾部行为。
• 将标量情形下关于重尾不动点的结果推广到向量值情形，特别是将Kahane、Peyrière和Guivarc’h的工作扩展到多维设置。

提出的方法

• 光滑变换T将随机向量Z的分布映射为∑ᵢ₌₁ᴺ AᵢZᵢ的分布，其中Aᵢ为独立同分布的随机自同态，Zᵢ为Z的独立同分布副本。
• 分析在ℝᵈ中的适当闭凸锥C ⊂ ℝᵈ上进行，Aᵢ将C映射到自身，推广了非负矩阵模型。
• 关键条件是𝔼[N]𝔼[A]的主导特征值等于1，确保扩张与收缩之间的平衡。
• 作者使用随机矩阵积的谱理论，包括锥上的Perron–Frobenius理论，研究级联的渐近行为。
• 他们在C的单位球面上定义了一个投影马尔可夫过程，利用相关马尔可夫算子Qˢ的特征测度和特征函数。
• 通过算子Pˢ的谱半径κ(s)以及s-霍尔德连续特征函数的存在性，建立了不动点的存在性与正则变异性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ℝᵈ的凸锥C ⊂ ℝᵈ中，多维光滑变换T在何种条件下存在具有有限非零期望的非平凡不动点？
• RQ2 此类不动点的尾部正则变异性指数为何？它与矩生成函数θ(s) = 𝔼[∑ᵢ₌₁ᴺ |Aᵢ|ˢ]有何关系？
• RQ3 不动点的尾部性质如何将Kahane和Guivarc’h的一维结果推广到高维？
• RQ4 该理论能否在多维锥设置下推广到不可逆且非负的矩阵，如同Kesten的框架所示？
• RQ5 对偶锥结构以及伴随矩阵A*在C*上的作用在刻画级联渐近行为的谱性质中起什么作用？

主要发现

• 若𝔼[N]𝔼[A]的主导特征值恰好为1，则光滑变换T在锥C ⊂ ℝᵈ中存在非平凡不动点。
• 该不动点具有多维正则变异性，其正则变异性指数等于满足θ(χ) = 1的唯一χ > 1。
• 尾部行为满足limₜ→∞ t^χ ℙ(Y > t) > 0（对于不动点Y），推广了一维情形下Guivarc’h和Liu的结果。
• 马尔可夫算子Qˢ的s-霍尔德连续特征函数和特征测度的存在性，确保了级联的收敛性以及不动点的正则变异性。
• 该理论适用于不可逆矩阵，包括非负矩阵，强化了Kesten在多维情形下的结果。
• 对偶锥结构以及A*在C*上的作用在刻画谱性质和过程渐近行为方面至关重要。