[论文解读] Spectral gap properties for linear random walks and Pareto's asymptotics for affine stochastic recursions

Yves Guivarc’h, Émile Le Page|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文建立了 $\mathbb{R}^d$ 上线性随机游走的谱间隙性质，并在弱矩条件下推导出仿射随机递推的平稳测度的帕累托型渐近行为。通过结合马尔可夫依赖矩阵积的更新定理、径向傅里叶分析以及主导李雅普诺夫指数的简洁性，证明了平稳测度在无穷远处具有齐次性，其尾部测度取决于线性分量的分布以及由仿射增量生成的半群。

ABSTRACT

Let $V=\mathbb R^d$ be the Euclidean $d$-dimensional space, $μ$ (resp $λ$) a probability measure on the linear (resp affine) group $G=G L (V)$ (resp $H= \Aff (V))$ and assume that $μ$ is the projection of $λ$ on $G$. We study asymptotic properties of the iterated convolutions $μ^n *δ\_{v}$ (resp $λ^n*δ\_{v})$ if $v\in V$, i.e asymptotics of the random walk on $V$ defined by $μ$ (resp $λ$), if the subsemigroup $T\subset G$ (resp.\ $Σ\subset H$) generated by the support of $μ$ (resp $λ$) is "large". We show spectral gap properties for the convolution operator defined by $μ$ on spaces of homogeneous functions of degree $s\geq 0$ on $V$, which satisfy H{ö}lder type conditions. As a consequence of our analysis we get precise asymptotics for the potential kernel $Σ\_{0}^{\infty} μ^k * δ\_{v}$, which imply its asymptotic homogeneity. Under natural conditions the $H$-space $V$ is a $λ$-boundary; then we use the above results and radial Fourier Analysis on $V\setminus \{0\}$ to show that the unique $λ$-stationary measure $ρ$ on $V$ is "homogeneous at infinity" with respect to dilations $v ightarrow t v$ (for $t extgreater{}0$), with a tail measure depending essentially of $μ$ and $Σ$. Our proofs are based on the simplicity of the dominant Lyapunov exponent for certain products of Markov-dependent random matrices, on the use of renewal theorems for "tame" Markov walks, and on the dynamical properties of a conditional $λ$-boundary dual to $V$.

研究动机与目标

• 建立与 $\mathbb{R}^d$ 上线性随机游走相关的卷积算子的谱间隙性质
• 分析潜在核 $\sum_{k=0}^{\inyfty} \mu^k * \delta_v$ 的渐近行为
• 在弱矩条件下证明仿射随机递推的平稳测度 $\rho$ 在无穷远处具有齐次性
• 以线性分量 $\mu$ 和半群 $\Sigma$ 的形式表征 $\rho$ 的尾部测度
• 发展一种对偶马尔可夫边界方法，以分析平稳测度的径向结构

提出的方法

• 使用转移算子和在射影空间与球面上的特征测度来分析遍历性质
• 应用适用于驯服纤维化马尔可夫链的更新定理，推导潜在核的渐近行为
• 在 $V \setminus \{0\}$ 上运用径向傅里叶分析，研究无穷远处的齐次性
• 利用马尔可夫依赖随机矩阵积的主导李雅普诺夫指数的简洁性
• 利用 Choquet-Deny 性质以及 $\lambda$-边界与对偶边界之间的对偶性，控制尾部行为
• 通过解析延拓与生成函数的梅雷罗姆延拓，建立矩条件，并利用兰道引理导出矛盾

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，线性随机游走的潜在核表现出渐近齐次性？
• RQ2 仿射随机递推的平稳测度在无穷远处的行为如何？其尾部结构由什么决定？
• RQ3 在 Hölder 型正则性条件下，卷积算子在非负次数 $s \geq 0$ 的齐次函数上的谱间隙性质为何？
• RQ4 马尔可夫依赖矩阵积的更新定理如何促进随机游走的渐近分析？
• RQ5 仿射递推的平稳测度在何种意义下关于缩放 $v \to tv$ 在无穷远处具有‘齐次性’？”

主要发现

• 潜在核 $\sum_{k=0}^{\inyfty} \mu^k * \delta_v$ 在无穷远处渐近齐次，意味着其尾部按幂律衰减。
• 在自然条件下，$V$ 上唯一的 $\lambda$-平稳测度 $\rho$ 关于缩放 $v \to tv$（$t > 0$）在无穷远处具有齐次性。
• $\rho$ 的尾部测度在本质上仅取决于线性分量 $\mu$ 和由 $\lambda$ 生成的半群 $\Sigma$。
• 在 Hölder 型正则性条件下，建立了齐次函数次数 $s \geq 0$ 上卷积算子的谱间隙性质。
• 函数 $k(s) = \mathbb{E}[\|A\|^s]$ 满足：当 $s > \alpha$ 时 $k(s) > 1$，且 $\lim_{s \to \infty} k(s)^{1/s} = c > 1$，这表明径向分量具有有限的指数矩。
• 当假设径向分量无界时，通过兰道引理导出矛盾，证明了 $\mathbb{E}[\langle R, u\rangle_+^s] < \infty$ 对所有 $s < \beta + \varepsilon$ 成立，从而确认存在有限矩阈值 $\alpha$