[论文解读] On Néron models, divisors and modular curves

Bas Edixhoven|ArXiv.org|Jun 15, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 18

一句话总结

本文研究了模曲线 $X_0(p)$ 的雅可比簇的内朗模型，重点关注雅可比阿贝尔映射下模曲线光滑部分的像。利用雷瑙德通过正规模型和双重点处的不变量描述内朗模型的方法，证明了当 $p > 13$ 且 $X_0(p)_{\mathbb{Q}}$ 的亏格至少为二时，特殊纤维的像与由 $f(0)$ 生成的子群的闭包的交集恰好为两点 $f(0)_p$ 和 $f(\infty)_p$，从而解决了科勒曼提出的问题。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number such that the modular curve $X_0(p)$ has genus at least two. We show that the only points of the reduction mod $p$ of $X_0(p)$ with image in the reduction mod $p$ of $J_0(p)$ in the cuspidal group are the two cusps. This answers a question of Robert Coleman. For the proof we give a description of the special fibre of the Néron model of the jacobian of a semi-stable curve in terms of divisors. We also study to what extent the morphism from a semistable curve with given base point to the Néron model of its jacobian is a closed immmersion. Implicitly, logarithmic structures intervene, and a well-known modular form of weight $p+1$ on supersingular elliptic curves plays an important role.

研究动机与目标

• 解决罗伯特·科勒曼提出的问题：即在 $J_0(p)$ 的内朗模型中，$X_0(p)^{\sim,0}$ 的特殊纤维在雅可比阿贝尔映射 $f$ 下的像与由 $f(0)$ 生成的子群的闭包的交集为何。
• 通过对数结构和形变理论，将雷瑙德对雅可比簇内朗模型的描述扩展至包含双重点处的不变量，特别是在半稳定情形下。
• 确定从正规有界诺代曲线的光滑部分到其雅可比簇内朗模型的态射为闭浸入的精确条件。
• 根据组件图和双重点处的 $e(x)$-不变量，刻画组件群 $\Phi^\sim / \Phi$ 的结构。

提出的方法

• 利用雷瑙德通过曲线的正规模型的相对除数类群描述雅可比簇内朗模型的方法。
• 应用图论描述组件群 $\Phi$ 及其扩张 $\Phi^\sim$，使用同调群 $H_1(G, \mathbb{Z})$ 和边界映射的余核。
• 引入双重点 $x$ 处的不变量 $c(x)$，其与局部方程 $uv = \pi^{e(x)}$ 中的 $e(x)$-不变量相关。
• 依赖于权为 $p+1$ 的模形式，以确定模曲线 $X_0(p)$ 的 $e(x)$-不变量。
• 应用赋值准则，并比较全局与局部形变空间，分析点在特殊化下的行为。
• 利用同构 $\Phi^\sim / \Phi \cong \left( \bigoplus_x \mathbb{Z}/e(x)\mathbb{Z} \right) / \operatorname{im}(d^*)$ 分析点在组件群中的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些素数 $p$，雅可比阿贝尔映射 $f$ 下 $X_0(p)^{\sim,0}_p$ 的像与由 $f(0)$ 生成的子群的闭包的交集恰好为 $f(0)_p$ 和 $f(\infty)_p$？
• RQ2 在何种条件下，正规有界诺代曲线的光滑部分 $X^{0}$ 到其雅可比簇内朗模型的态射是闭浸入？
• RQ3 特殊纤维双重点处的不变量 $e(x)$ 如何与组件群 $\Phi^\sim / \Phi$ 的结构相关联？
• RQ4 权为 $p+1$ 的模形式在确定 $X_0(p)$ 的 $e(x)$-不变量中起什么作用？
• RQ5 对于非断开双点 $y$，何时映射 $\mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z} \to \Phi^\sim / \Phi$ 是单射？

主要发现

• 对于所有满足 $X_0(p)_{\mathbb{Q}}$ 亏格至少为二的素数 $p$，$f$ 下 $X_0(p)^{\sim,0}_p$ 的像与由 $f(0)$ 生成的子群的闭包的交集恰好为两点 $f(0)_p$ 和 $f(\infty)_p$。
• 态射 $f: X^{0} \to J$ 是闭浸入当且仅当 $X_{\bar{k}}$ 的所有双重点均为非断开点，且对每个素数 $p$，每个非断开双点均位于一个环中，使得对环中所有 $y$，有 $v_p(e(x)) \leq v_p(e(y))$。
• 组件群 $\Phi^\sim / \Phi$ 同构于 $\left( \bigoplus_x \mathbb{Z}/e(x)\mathbb{Z} \right) / \operatorname{im}(d^*)$，其中 $d^*$ 是组件图上的余边界映射。
• 一个点 $Q \in X(K)$ 特殊化到非断开双点 $y$ 时，其像映射到 $\mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z}$ 中的类 $\bar{i}$，其中 $i$ 是其在分辨率链中的组件索引。
• 映射 $\mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z} \to \Phi^\sim / \Phi$ 的单射性等价于：对每个素数 $p$，存在一个包含 $y$ 的环，使得环中所有 $x$ 满足 $v_p(e(y)) \leq v_p(e(x))$。
• 对于正规有界诺代曲线，态射 $f: X^0 \to J$ 是闭浸入当且仅当 $X_{\bar{k}}$ 的所有双重点均为非断开点。