[论文解读] On non-abelian Lubin-Tate theory for GL(2) in the odd equal characteristic case

Takahiro Tsushima|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用 4

一句话总结

该论文通过分析 Lubin-Tate 曲线中 CM 点附近的仿射子域，计算其约化，并利用 adic 空间上的 étale 上同调将这些约化与完整 Lubin-Tate 空间上同调联系起来，从而在奇等特征情形下，为 GL(2) 的非交换 Lubin-Tate 理论提供了完全局部且几何化的证明。关键结果是通过这些约化的上同调几何实现局部 Langlands 与 Jacquet-Langlands 对应关系，且不依赖于全局自守形式或 Drinfeld 模曲线。

ABSTRACT

In this paper, we define a family of affinoids in the tubular neighborhoods of CM points in the Lubin-Tate curve with suitable level structures, and compute the reductions of them in the equal characteristic case. By using etale cohomology theory of adic spaces due to Huber, we show that the cohomology of the reductions contributes to the cohomology of the Lubin-Tate curve. As an application, with the help of explicit descriptions of the local Langlands correspondence and the local Jacquet-Langlands correspondence due to Bushnell-Henniart via the theory of types, we prove the non-abelian Lubin-Tate theory for GL(2) in the odd equal characteristic case in a purely local manner. Conversely, if we admit the non-abelian Lubin-Tate theory, we can recover the explicit descriptions of the two correspondences geometrically.

研究动机与目标

• 在奇等特征情形下，提供一种完全局部且几何化的非交换 Lubin-Tate 理论证明，且不依赖于全局自守表示。
• 定义并计算 Lubin-Tate 曲线中具有有限水平结构的 CM 点附近的仿射子域的约化。
• 利用 Huber 的 adic 空间上同调理论，通过比较定理将这些约化的 étale 上同调与完整 Lubin-Tate 曲线的上同调联系起来。
• 通过这些约化上同调的几何实现，实现局部 Langlands 与 Jacquet-Langlands 对应关系。
• 从几何上同调数据中恢复局部 Langlands 与 Jacquet-Langlands 对应关系的显式描述。

提出的方法

• 在等特征情形下，定义具有 Drinfeld 或 Iwahori 水平结构的 Lubin-Tate 曲线中 CM 点附近的仿射子域。
• 计算这些仿射子域的约化，并将其分类为三种类型，与 Weinstein 的早期工作相容。
• 利用 Huber 的 adic 空间 étale 上同调理论，通过比较定理将约化上同调与完整 Lubin-Tate 曲线的上同调联系起来。
• 分析 Lubin-Tate 上升序列的 Galois 与 Hecke 作用在约化上诱导的群作用。
• 应用上同调比较引理（引理 4.5），将约化上同调的紧支集上同调与 Lubin-Tate 空间的上同调联系起来。
• 利用 Frobenius 可递性与特征标理论，识别出上同调通过群 $\boldsymbol{J}_{E,n}$ 的诱导表示实现局部 Langlands 对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇等特征情形下，是否能以完全局部且几何化的方式证明 GL(2) 的非交换 Lubin-Tate 理论？
• RQ2 Lubin-Tate 曲线中 CM 点附近的仿射子域的约化如何贡献于 Lubin-Tate 空间整体上同调？
• RQ3 能否从这些约化的上同调中几何地恢复局部 Langlands 与 Jacquet-Langlands 对应关系？
• RQ4 这些仿射子域约化上的群作用结构是怎样的？其与 Galois 表示有何关联？
• RQ5 这些约化上同调群是否实现了局部 Langlands 对应关系所预测的正确不可约表示？

主要发现

• Lubin-Tate 曲线中 CM 点附近的仿射子域约化被分类为三种类型，其中一种类型在每一水平层上形成‘新分量’。
• 约化中间上同调通过 Huber 的比较定理非平凡地贡献于完整 Lubin-Tate 曲线的上同调。
• 约化上同调通过群 $\boldsymbol{J}_{E,n}$ 的诱导表示几何地实现 GL(2) 的局部 Langlands 对应关系。
• 由上同调导出的显式特征标 $\boldsymbol{\Phi}^{\iota}_{E,\chi_0}$ 与局部 Langlands 对应关系所预测的表示一致。
• 几何构造通过相同的上同调数据，自然实现了局部 Jacquet-Langlands 对应关系。
• 该证明在不依赖全局自守形式或 Drinfeld 模曲线的前提下，建立了 GL(2) 的非交换 Lubin-Tate 理论。