[论文解读] On the local Langlands correspondence

Michael Harris|ArXiv.org|Apr 22, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 18

一句话总结

本文回顾了非阿基米德局部域 $F$ 上 $GL(n)$ 的局部兰道斯对应关系，详细阐述了通过 $\ell$-adic 上同调的希默拉簇与德林费尔德的形变空间实现的全局证明。文章强调了通过保持关键不变量来表征该对应关系，并指出寻找纯粹局部的证明——尤其是将布什内尔-库茨科类型与伽罗瓦表示联系起来——是当前的核心开放问题。

ABSTRACT

The local Langlands correspondence for GL(n) of a non-Archimedean local field $F$ parametrizes irreducible admissible representations of $GL(n,F)$ in terms of representations of the Weil-Deligne group $WD_F$ of $F$. The correspondence, whose existence for $p$-adic fields was proved in joint work of the author with R. Taylor, and then more simply by G. Henniart, is characterized by its preservation of salient properties of the two classes of representations. The article reviews the strategies of the two proofs. Both the author's proof with Taylor and Henniart's proof are global and rely ultimately on an understanding of the $\ell$-adic cohomology of a family of Shimura varieties closely related to GL(n). The author's proof with Taylor provides models of the correspondence in the cohomology of deformation spaces, introduced by Drinfeld, of certain $p$-divisible groups with level structure.

研究动机与目标

• 回顾并比较 $GL(n,F)$ 的局部兰道斯对应关系的全局上同调证明，特别是哈里斯-泰勒与亨尼阿特的工作。
• 推动寻找独立于全局自守形式或算术几何的纯粹局部构造。
• 探讨局部兰道斯对应关系的上同调实现，特别是 $p$-进与 $\ell$-adic 上同调中 $p$-除子群模空间的实现。
• 研究由布什内尔-库茨科类型参数化的辅助表示与其伽罗瓦理论对应物之间的关系。
• 考察维涅拉斯的模形式局部兰道斯对应关系在 $p$-进或 $\ell$-adic 上同调中是否具有上同调实现。

提出的方法

• 基于与 $GL(n)$ 相关的希默拉簇的 $\ell$-adic 上同调的全局方法，特别是与德林费尔德的 $p$-除子群带水平结构的形变空间相关的方法。
• 通过从紧致模中心子群 $H \subset GL(n,F)$ 的紧致诱导，应用类型理论，利用表示 $\rho$ 来参数化辅助表示。
• 将韦伊-德利涅群 $WD_F$ 作为对应关系的伽罗瓦侧，其弗罗贝尼乌斯作用为半单，单峰单子为幂零。
• 依赖伯恩斯坦-泽列维斯基约化方法，将对应关系约化至 $\mathcal{A}_0(n,F)$ 与 $\mathcal{G}_0(n,F)$ 的情形。
• 分析辅助表示的分布特征标 $\chi_\pi$ 及其与迹公式和特征恒等式下伽罗瓦表示的关系。
• 考虑 $p$-进与刚性上同调中的上同调实现，特别是针对 $\tilde{\Omega}^n_F$ 与 $\mathcal{M}^{n}_{LT,F}$，以检测模 $p$ 表示的 $p$-进形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖全局自守形式或算术几何时，纯粹通过局部方法构造局部兰道斯对应关系？
• RQ2 如何直接从辅助表示 $\pi$ 的布什内尔-库茨科类型 $(H,\rho)$ 定义伽罗瓦表示 $\sigma(\pi)$？
• RQ3 维涅拉斯的模形式局部兰道斯对应关系是否能在 $p$-进或 $\ell$-adic 上同调中实现？
• RQ4 分布特征标 $\chi_\pi$ 与伽罗瓦表示 $\sigma(\pi)$ 之间的精确关系是什么，特别是当 $n$ 与 $p$ 互素时？
• RQ5 类型 $(H,\rho)$ 是否可被实现为 $\tilde{\Omega}^n_F$ 或 $\mathcal{M}^{n}_{LT,F}$ 中的子复形或子簇，使得其上同调实现该对应关系？

主要发现

• 通过全局方法建立了 $GL(n,F)$ 的局部兰道斯对应关系：哈里斯-泰勒利用希默拉簇与德林费尔德形变空间的 $\ell$-adic 上同调，而亨尼阿特则使用相同的上同调框架给出了更简洁的证明。
• 该对应关系通过保持中心特征标与阿廷导子数，以及与未分歧特征标扭结的相容性，被唯一表征。
• 亨尼阿特证明了数值局部兰道斯对应关系 $|\mathcal{A}_0(n,F)[a]| = |\mathcal{G}_0(n,F)[a]|$，在固定导子水平下确立了轨道间的双射存在性。
• 当 $n=2$ 时，特征展开中系数 $a_\pi(K,\xi)$ 的非零性与局部 $\varepsilon$-因子 $\varepsilon(\frac{1}{2}, \sigma(\pi) \otimes \xi^{-1}, \psi)$ 相关，如屯奈尔与斋藤所展示。
• 雷曼（基于莫伊）的猜想将分布特征标 $\chi_\pi$ 表示为 $\sigma(\pi)$ 的函数（当 $n$ 与 $p$ 互素时），布什内尔与亨尼阿特正在进行的工作表明，该猜想在至多一个二次未分歧扭结下成立。
• 热斯特耶尔与斯特劳赫已宣布对 $n=2$ 的情形，某些类型 $(H,\rho)$ 可在 $\mathcal{M}^{n}_{LT,F}$ 的上同调中实现，支持了类型上同调实现的可能性。