[论文解读] On one class of fractal sets

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文引入了一类新的分形集 𝒮_{(s,u)}，通过限制 s 进制展开中的数字使用——具体而言，禁止在非首位置使用数字 u 和零。该文建立了一个通用定理以计算此类集合的 Hausdorff-Besicovitch 维数，并证明：在所有此类集合中，仅在 𝒮_{(3,0)} 中存在正规数（即 s 进制展开中各位数字频率均匀的数），其维数被限定在 log₃(2)/3 与 log₃(2/(√5−1)) 之间。

ABSTRACT

In the present article a new class $Υ$ of all sets represented in the following form is introduced: $$ \mathbb S_{(s,u)}\equiv\left\{x: x= Δ^{s}_{{\underbrace{u...u}_{α_1-1}} α_1{\underbrace{u...u}_{α_2 -1}}α_2 ...{\underbrace{u...u}_{ α_n -1}}α_n...}, α_n \in A_0, α_n e u, α_n e 0 ight\}, $$ where $2

研究动机与目标

• 定义并分析一类基于受限 s 进制数字序列的新分形集 𝒮_{(s,u)}，其中数字 u 和零被排除在非首位置之外。
• 研究这些集合的拓扑、度量和分形性质，尤其关注其结构与维数。
• 确定正规数（即在 s 进制展开中各位数字频率均匀的数）属于这些集合的条件。
• 建立一种通用方法，用于计算在 s 进制表示中具有禁止数字模式的集合的 Hausdorff-Besicovitch 维数。

提出的方法

• 集合 𝒮_{(s,u)} 通过 s 进制展开定义，其中每个元素由来自 A₀ = {1, ..., s−1} 的非零数字序列组成，这些数字被 (s−1) 次重复的 u 块分隔，且满足 u ≠ 0 且 u ≠ αₙ。
• 通过建立 𝒮_{(s,0)} 的元素与 (A₀)∞ 中序列之间的双射，证明其不可数性，方法是将其映射到已知的不可数 Cantor 型集合。
• 定义柱集为 𝒮_{(s,0)} 中具有固定初始非零数字的子集，并利用几何级数计算其下确界与上确界，以分析其度量结构。
• 通过将集合建模为依赖于数字位置与禁止模式的自相似结构，推导出一个通用维数公式。
• 利用公式 α₀ 满足 ∑(1/s)^{N(σᵢ)α₀} = 1 计算维数，其中 N(σᵢ) 表示每个块中的数字个数，通过递归分解验证自相似性。
• 通过评估 s 进制展开中数字 i 的渐近频率来分析正规数问题；仅当 s=3 且 u=0 时，所有数字的频率才能达到 1/s。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 s 和 u 值，集合 𝒮_{(s,u)} 包含正规数，即在 s 进制展开中各位数字频率为 1/s 的数？
• RQ2 在给定的数字限制下，集合 𝒮_{(s,u)} 的 Hausdorff-Besicovitch 维数是多少？
• RQ3 𝒮_{(s,u)} 的结构如何与自相似集及 Cantor 型构造相关联？
• RQ4 能否为任何由 s 进制展开中禁止数字模式定义的集合推导出 Hausdorff 维数的通用公式？
• RQ5 𝒮_{(s,0)} 的拓扑与度量结构如何，特别是关于柱集及其上下界？

主要发现

• 在 ∪_{u=0}^{s−1} 𝒮_{(s,u)} 中，正规数集合非空仅当 s=3，此时其为 𝒮_{(3,0)} 的一个连续子集。
• 当 s=3 时，正规数子集的 Hausdorff-Besicovitch 维数 α₀ 满足 1/3 log₃2 ≤ α₀ ≤ log₃(2/(√5−1))。
• 当 s≠3 时，∪_{u=0}^{s−1} 𝒮_{(s,u)} 中的正规数集合为空集，因为数字 0 的频率无法达到 1/s，这是由结构约束所致。
• 𝒮_{(3,0)} 的 Hausdorff-Besicovitch 维数恰好为 log₃(2/(√5−1))，由自相似方程 2(1/3)^{3α₀} = 1 推导得出。
• 最小正规数子集 S′₃ ⊂ 𝒮_{(3,0)} 的维数为 1/3 log₃2，由方程 2(1/3)^{3α₀} = 1 计算得出。
• 证明了一个通用定理：任何在 s 进制展开中具有禁止数字模式的集合的 Hausdorff-Besicovitch 维数，由求解 ∑(1/s)^{N(σᵢ)α₀} = 1 确定，其中 N(σᵢ) 表示每个允许块的长度。