[论文解读] On one nearly everywhere continuous and nowhere differentiable function, that defined by automaton with finite memory

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 2被引用 5

一句话总结

本论文通过有限记忆自动机定义了一个新函数，该函数利用特定的数位替换规则（0→0，1→2，2→1）对 [0,1] 区间内实数的三进制数字进行变换。该函数几乎处处连续，但处处不可微，其图像的 Hausdorff-Besicovitch 维数为 1，Lebesgue 积分为 1/2。研究表明该函数可通过自相似函数方程表示，并通过三进制数位置换推广为六个相关函数。

ABSTRACT

This paper is devoted to the investigation of the following function $$ f: x=Δ^{3}_{α_{1}α_{2}...α_{n}...}{ ightarrow} Δ^{3}_{φ(α_{1})φ(α_{2})...φ(α_{n})...}=f(x)=y, $$ where $φ(i)=\frac{-3i^{2}+7i}{2}$, $ i \in N^{0}_{2}=\{0,1,2\}$, and $Δ^{3}_{α_{1}α_{2}...α_{n}...}$ is the ternary representation of $x \in [0;1]$. That is values of this function are obtained from the ternary representation of the argument by the following change of digits: 0 by 0, 1 by 2, and 2 by 1. This function preserves the ternary digit $0$. Main mapping properties and differential, integral, fractal properties of the function are studied. Equivalent representations by additionally defined auxiliary functions of this function are proved. This paper is the paper translated from Ukrainian (the Ukrainian variant available at https://www.researchgate.net/publication/292970012). In 2012, the Ukrainian variant of this paper was represented by the author in the International Scientific Conference "Asymptotic Methods in the Theory of Differential Equations" dedicated to 80th anniversary of M. I. Shkil (the conference paper available at https://www.researchgate.net/publication/301765319). In 2013, the investigations of the present article were generalized by the author in the paper "One one class of functions with complicated local structure" (https://arxiv.org/pdf/1601.06126.pdf) and in the several conference papers (available at: https://www.researchgate.net/publication/301765326, https://www.researchgate.net/publication/303052308).

研究动机与目标

• 研究通过三进制数位变换由有限自动机构造的新函数。
• 分析该函数的微分、积分、分形及函数性质。
• 通过辅助函数和函数方程建立其等价表示形式。
• 通过三进制数位置换将构造推广为六个相关函数的类。
• 确定该函数图像的 Hausdorff-Besicovitch 维数和 Lebesgue 积分。

提出的方法

• 通过三进制数位 i ∈ {0,1,2} 上的逐位变换 φ(i) = (−3i² + 7i)/2 定义函数 f。
• 使用三个等价的函数方程表示 f，涉及辅助函数 f₀₁、f₁₂、f₀₂，其数位映射分别为 φ₀₁(i) = (i² − i)/2 等。
• 利用单位区间在三进制子区间上的自相似性和递归分解推导函数方程。
• 通过覆盖图像的 dyadic 方块并计算 3^m (2·3^{-2m})^{α/2} 的极限，应用分形维数理论以确定维数。
• 通过自相似缩放计算 Lebesgue 积分：I = 1/3 + (1/3)I，解得 I = 1/2。
• 将构造推广至三进制数位的所有 6 种置换，定义 fₘ（m = 1 至 6）。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过三进制展开中的数位替换定义的函数 f 具有哪些微分和连续性性质？
• RQ2 如何通过具有有理系数的辅助函数 f_ij 及函数方程表示 f？
• RQ3 函数 f 的图像的 Hausdorff-Besicovitch 维数是多少？
• RQ4 f 在 [0,1] 上的 Lebesgue 积分是多少？
• RQ5 f 的性质如何推广至基于其他数位置换的函数 fₘ？

主要发现

• 函数 f 在 [0,1] 上几乎处处连续，仅在测度为零的集合上不连续。
• 尽管 f 几乎处处连续，但其处处不可微。
• f 的图像具有 Hausdorff-Besicovitch 维数 1。
• f 在 [0,1] 上的 Lebesgue 积分恰好为 1/2。
• 函数 f 可通过具有有理系数的 f₀₁、f₁₂ 和 f₀₂ 三种等价函数方程表示。
• 通过三进制数位置换得到的所有六个函数 fₘ（m = 1 至 6）均具有相同的关键性质：几乎处处连续、处处不可微、图像维数为 1，且积分为 1/2。