[论文解读] On one class of functions with complicated local structure that the solutions of infinite systems of functional equations (On one application of infinite systems of functional equations in the functions theory)

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2016

Functional Equations Stability Results参考文献 17被引用 16

一句话总结

本文研究了一类基于负˜Q-展开的新型无穷函数方程系统，用于建模具有复杂局部结构的函数，例如奇异函数、处处非单调函数以及处处不可微函数。论文证明了在[0,1]上存在唯一连续有界解，推导出其解析表达式，并确立了解作为具有独立˜Q符号的随机变量分布函数的条件。结果表明，该解在任意负˜Q-有理点处均无有限或无穷导数，证实了其病态可微性特征。

ABSTRACT

The article is devoted to investigation of applications of infinite systems of functional equations for modeling of functions with complicated local structure, that are defined in terms of the nega-$ ilde Q$-representation. The infinite system of functional equations $$ f\left(\hat \varphi^k(x) ight)= ilde \beta_{i_{k+1},k+1}+ ilde p_{i_{k+1},k+1}f\left(\hat \varphi^{k+1}(x) ight), $$ where $k=0,1,...$, $\hat \varphi$ is a shift operator of the $ ilde Q$-expansion, $x=\Delta^{- ilde Q} _{i_1(x)i_2(x)...i_n(x)...}$, are investigated. It is proved, that the system has the unique solution in the class of determined and bounded on $[0;1]$ functions and continuity of the solution. His analytical presentation is founded. Conditions of its monotonicity and nonmonotonicity, differential, integral properties are studied. Conditions under which the solution of the functional equations system is a distribution function of random variable $\eta=\Delta^{ ilde Q} _{\xi_1\xi_2...\xi_n...}$ with independent $ ilde Q$-symbols are discovered. The results of the article was represented in Fourth all-Ukrainian Scientific Conference of Young Scientists on Mathematics and Physics, Kyiv, April 23-25, 2015 (https://www.researchgate.net/publication/301765100). The investigation was represented at the seminar on fractal analysis of Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine on, October 30, 2014 (http://www.imath.kiev.ua/events/index.php?seminarId=21&archiv=1).

研究动机与目标

• 研究无穷函数方程系统在建模具有复杂局部结构函数中的应用。
• 为基于负˜Q-展开的新一类函数方程，建立在[0,1]上连续有界解的存在性与唯一性。
• 分析解的解析性、单调性、微分性与积分性特征。
• 确定解作为具有独立˜Q符号的随机变量分布函数的条件。
• 证明解在负˜Q-有理点处处处不可微。

提出的方法

• 本文采用与负˜Q展开相关的移位算子ˆϕk，定义无穷函数方程系统：f(ˆϕk(x)) = ˜βik+1,k+1 + ˜pik+1,k+1f(ˆϕk+1(x))，其中k = 0,1,...
• 解通过x ∈ [0,1]的˜Q-表示形式，解析构造为F(x) = βi1(x),1 + Σ_{k=2}^∞ [˜βik(x),k * Π_{j=1}^{k-1} ˜pij(x),j]。
• ˜Q-表示推广了s-进制与康托尔级数展开，使用一个矩阵||qi,n||，其每列元素为正且和为1，并满足无穷乘积为零的条件。
• 通过递归函数关系与无穷乘积结构的收敛性论证，证明解在[0,1]上连续且有界。
• 解的图像被表征为由˜qin,n, ˜ain,n, ˜βin,n与˜pin,n定义的仿射变换ψin,n序列下的不变集。
• 可微性分析采用双向序列趋近于负˜Q-有理点，通过比较左右差商极限，证明其发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于负˜Q-展开的无穷函数方程系统是否在[0,1]上存在唯一有界连续解？
• RQ2 在何种条件下，该函数方程系统的解是具有独立˜Q符号的随机变量的分布函数？
• RQ3 解在负˜Q-有理点处是否处处不可微？若是，原因为何？
• RQ4 解的解析性、单调性与积分性质是什么？
• RQ5 如何将解的图像表示为一系列仿射变换下的不变集？

主要发现

• 无穷函数方程系统在[0,1]上连续有界函数类中存在唯一解。
• 解F(x)基于x的负˜Q-表示，解析表达为F(x) = βi1(x),1 + Σ_{k=2}^∞ [˜βik(x),k * Π_{j=1}^{k-1} ˜pij(x),j]。
• 解在[0,1]中任意负˜Q-有理点处均不可微，因左右差商极限发散。
• 当参数满足˜pij,j与˜qij,j的给定条件时，解是随机变量η = ∆˜Q ξ1ξ2...ξn...具有独立˜Q符号的分布函数。
• F的图像为仿射变换ψin,n复合下的不变集，满足ΓF = ∪_{x∈[0,1]} (... ◦ ψin(x),n ◦ ... ◦ ψi1(x),1(ΓF))。
• 解表现出病态可微性：在任意负˜Q-有理点处既无有限导数也无无穷导数，原因在于差商中比值序列不收敛。