[论文解读] On one number-theoretic conception: towards a new theory

Rom Varshamov, Armen Bagdasaryan|ArXiv.org|Jul 6, 2009

History and Theory of Mathematics参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于整数重排的新型数论框架，其中负数被视为大于无穷大，由此建立新的公理体系，并提出一种处理发散级数的正规求和方法。该方法实现了发散级数的统一求和，可计算无界及振荡函数的极限，并基于初等方法推导出伯努利数的新递推与有限公式，无需解析延拓。

ABSTRACT

In this paper we present a new mathematical conception based on a new method for ordering the integers. The method relies on the assumption that negative numbers are beyond infinity, which goes back to Wallis and Euler. We also present a new axiom system, the model of which is arithmetics. We define regular method for summation of infinite series which allows us to discover general and unified approach to summation of divergent series, and determine the limits of unbounded and oscillating functions. Several properties for divergent series and explicit formulas for sums of some infinite series are established. A number of finite and new recurrence formulas for Bernoulli numbers are obtained. We rederive some known results, but in a simpler and elementary way, and establish new results by means of techniques of the theoretical background developed.

研究动机与目标

• 提出一种新的整数排序方法，使得负数被视为大于无穷大，灵感来自沃利斯和欧拉。
• 建立整数上正则函数的新公理体系，为新数学理论奠定基础。
• 提出一种处理发散级数的正规求和方法，该方法推广了经典求和方法，并适用于无界和振荡函数。
• 利用新理论框架推导伯努利数的新有限公式与递推公式。
• 通过更简单的方式重新推导已知结果并获得经典理论无法推导的新结果，以展示该理论的强大力量。

提出的方法

• 提出一种新的整数排序：ℤ = [0, 1, 2, ..., -2, -1]，将负整数置于无穷大之后。
• 引入一类定义在ℤ上的正则函数 f(·)，扩展求和运算，使其适用于上标小于下标的情况。
• 通过确保一致性和正则性的公理，定义一种新的无穷级数求和方法，即使对发散级数也适用。
• 将新的公理体系应用于发散级数的性质推导，包括等差与等比级数。
• 利用生成函数与递推关系，推导伯努利数的有限与显式公式。
• 将正则函数类扩展至包含非初等生成函数，从而扩大其适用范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一种一致的整数排序方式，使得负数大于无穷大？其对算术运算有何影响？
• RQ2 能否为整数上的正则函数构建一个新公理体系，以支持发散级数的统一求和方法？
• RQ3 在该新框架下，无界与振荡函数的极限为何种形式？与经典分析有何不同？
• RQ4 能否基于此新理论基础推导出伯努利数的新递推与有限公式？
• RQ5 在分析与数论中，已知结果在多大程度上可通过此新方法更简洁地重新推导？

主要发现

• 提出一种新的整数排序 ℤ = [0, 1, 2, ..., -2, -1]，将负数置于无穷大之后，与沃利斯和欧拉的历史观点一致。
• 建立了整数上正则函数的新公理体系，使得即使上标小于下标，也能实现级数的稳定求和。
• 发展了一种处理发散级数的正规求和方法，可统一处理发散、无界及振荡级数。
• 推导出伯努利数的显式递推与有限公式，包括此前未知的新恒等式。
• 在新框架下定义并计算了无界与振荡函数的极限，得到经典分析失效时的有限值。
• 以初等方法重新推导了黎曼ζ函数在负整数处的取值等已知结果，无需解析延拓。