[论文解读] On optimal finite element schemes for biharmonic equation

Shuo Zhang|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用 5

一句话总结

该论文针对平面双调和方程，基于分片三次和四次多项式构造了两种非协调有限元格式，在一般形状正则三角剖分上实现了能量范数下最优的收敛率 $\mathcal{O}(h^2)$ 和 $\mathcal{O}(h^3)$。该格式基于离散化的斯托克斯复形，通过界面连续性约束确保一致性，克服了 $\mathcal{C}^1$-协调元的局限性，实现了无需特殊网格结构的最优逼近。

ABSTRACT

In this paper, two nonconforming finite element schemes that use piecewise cubic and piecewise quartic polynomials respectively are constructed for the planar biharmonic equation with optimal convergence rates on general shape-regular triangulations. Therefore, it is proved that optimal finite element schemes of arbitrary order for planar biharmonic equation can be constructed on general shape-regular triangulations.

研究动机与目标

• 填补平面双调和方程在多项式次数 $k=3$ 和 $k=4$ 时最优有限元格式的空白。
• 开发在一般形状正则三角剖分上实现最优收敛率的格式，避免对网格结构的严格限制。
• 构建不通过 Ciarlet 三元组定义的有限元空间，因其连续性约束过强，需借助间接理论工具。
• 证明可在一般三角剖分上构造任意阶次的最优格式用于平面双调和方程。
• 建立基于离散化斯托克斯复形的框架，以在缺乏局部基函数的情况下确保稳定性和一致性。

提出的方法

• 分别使用分片三次和四次多项式构造两种非协调有限元空间 $B_h^3$ 和 $B_h^4$，并在单元边界上施加连续性约束。
• 施加界面连续性条件：$\int_e \llbracket w_h \rrbracket p_e = 0$ 对于 $p_e \in P_{k-3}(e)$，以及 $\int_e q_e \llbracket \partial_n w_h \rrbracket = 0$ 对于 $q_e \in P_{k-2}(e)$，以确保一致性和最优逼近。
• 利用离散化斯托克斯复形作为结构框架，用于定义和分析有限元空间，替代直接的局部基构造。
• 采用三步求解过程：先求解泊松问题，再求解类似斯托克斯的系统，最后恢复 Hessian 矩阵，确保该格式与 Galerkin 解一致。
• 利用 Fortin-Soulie 和 Crouziex-Falk 斯托克斯对在一般网格上的稳定性，保证离散系统的最优收敛性和适定性。
• 证明该格式可高效实现并最优求解，且可通过将内罚项替换为连续性约束，实现类似间断伽辽金方法的实现方式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般形状正则三角剖分上，为平面双调和方程构造任意阶次的最优有限元格式？
• RQ2 基于分片多项式次数为 $k=3$ 和 $k=4$ 的非协调有限元空间，能否在不依赖特殊网格结构的情况下实现最优收敛率？
• RQ3 当无法获得局部基函数时，如何构造并分析具有过强连续性约束的有限元空间？
• RQ4 离散化斯托克斯复形在实现非协调双调和格式的最优逼近与稳定性方面起到何种作用？
• RQ5 所提出的格式与间断伽辽金方法之间是否存在结构关联，特别是在实现方式和渐近行为方面？

主要发现

• 所提出的 $B_h^3$ 和 $B_h^4$ 有限元空间在一般形状正则三角剖分上，于能量范数下实现了 $\mathcal{O}(h^2)$ 和 $\mathcal{O}(h^3)$ 的最优收敛率。
• 由于 Fortin-Soulie 和 Crouziex-Falk 斯托克斯对在一般网格上的稳定性，该格式具有稳定性和适定性。
• 有限元空间并非通过 Ciarlet 三元组定义，因其连续性约束过强，需通过离散化斯托克斯复形进行间接构造。
• 收敛性分析不仅用于误差估计，还用于证明有限元空间的逼近性质，偏离了标准的基于插值的方法。
• 该格式可高效实现并求解，且可通过将内罚项替换为连续性约束，实现类似间断伽辽金方法的实现方式。
• 对于 $k \geq 2$ 的空间族 $B_h^k$ 可推广 Morley 元，且可能扩展至任意 $k \geq 2$ 及更高维空间，暗示存在更广泛的理论框架。