[论文解读] On Packing Low-Diameter Spanning Trees

Julia Chuzhoy, Merav Parter+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文首次建立了 k-边连通图中边不相交生成树打包的非平凡上界与下界。研究表明，对于任意 k-边连通的 n 个顶点、直径为 D 的图，可打包 Ω(k) 条边不相交的生成树，其直径为 O((101k log n)D)，边拥挤度至多为 2；此外，通过匹配的下界证明了该上界近乎紧致。这些结果使得在高边连通性、低直径网络中实现高效分布式 MST、最小割及安全广播算法成为可能。

ABSTRACT

Edge connectivity of a graph is one of the most fundamental graph-theoretic concepts. The celebrated tree packing theorem of Tutte and Nash-Williams from 1961 states that every k-edge connected graph G contains a collection 𝒯 of ⌊k/2⌋ edge-disjoint spanning trees, that we refer to as a tree packing; the diameter of the tree packing 𝒯 is the largest diameter of any tree in 𝒯. A desirable property of a tree packing for leveraging the high connectivity of a graph in distributed communication networks, is that its diameter is low. Yet, despite extensive research in this area, it is still unclear how to compute a tree packing of a low-diameter graph G, whose diameter is sublinear in |V(G)|, or, alternatively, how to show that such a packing does not exist. In this paper, we provide first non-trivial upper and lower bounds on the diameter of tree packing. We start by showing that, for every k-edge connected n-vertex graph G of diameter D, there is a tree packing 𝒯 containing Ω(k) trees, of diameter O((101k log n)^D), with edge-congestion at most 2. Karger’s edge sampling technique demonstrates that, if G is a k-edge connected graph, and G[p] is a subgraph of G obtained by sampling each edge of G independently with probability p = Θ(log n/k), then with high probability G[p] is connected. We extend this result to show that the diameter of G[p] is bounded by O(k^(D(D+1)/2)) with high probability. This immediately gives a tree packing of Ω(k/log n) edge-disjoint trees of diameter at most O(k^(D(D+1)/2)). We also show that these two results are nearly tight for graphs with a small diameter: we show that there are k-edge connected graphs of diameter 2D, such that any packing of k/α trees with edge-congestion η contains at least one tree of diameter Ω((k/(2α η D))^D), for any k,α and η. Additionally, we show that if, for every pair u,v of vertices of a given graph G, there is a collection of k edge-disjoint paths connecting u to v, of length at most D each, then we can efficiently compute a tree packing of size k, diameter O(D log n), and edge-congestion O(log n). Finally, we provide several applications of low-diameter tree packing in the distributed settings of network optimization and secure computation.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：在高度连通图中是否存在低直径生成树打包？
• 建立 k-边连通图中边不相交生成树打包直径的紧致上界与下界。
• 在低直径、高连通网络中，为 MST、最小割及安全广播等基本问题提供高效分布式算法。
• 为在对抗性边窃听环境下，分布式系统中具有弹性和低拥挤度的通信提供理论基础。

提出的方法

• 利用 Karger 的边采样技术，证明以概率 p = Θ(log n / k) 采样边时，可得一个连通子图 G[p]，其直径以高概率为 O(kD(D+1)/2)。
• 证明采样子图 G[p] 的直径被限制在 O(kD(D+1)/2) 以内，从而推导出大小为 Ω(k / log n) 的生成树打包，其直径为 O(kD(D+1)/2)。
• 使用 d-重独立哈希函数及 d-重独立变量的 Chernoff 不等式，分析边采样过程的集中性，确保低拥挤度。
• 构建 (d, c, η, k) 圆环覆盖，将通用分布式算法转化为在对抗性边窃听下具有鲁棒性的版本。
• 应用随机延迟技术以并行化子程序，并控制整体轮复杂度。
• 采用基于在 k 条低直径生成树上分发 k 份秘密份额的安全广播协议，以实现对窃听者的信息论安全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在 k-边连通图中构造出大小为 Ω(k) 的生成树打包，且其直径在 n 上为次线性，特别是在图的直径 D 较小时？
• RQ2 在 k-边连通图中，边不相交树的数量、其直径与边拥挤度之间，最佳可能的权衡是什么？
• RQ3 生成树打包的直径上界 O((101k log n)D) 是否紧致，或可进一步改进？
• RQ4 能否为具有常数直径和 n^ε 边连通性的图设计出 MST 和最小割的高效分布式算法？
• RQ5 在敌手可监控 O(k / log n) 条边的条件下，如何实现分布式广播的信息论安全性？

主要发现

• 对于任意 k-边连通的 n 个顶点、直径为 D 的图，存在一个大小为 Ω(k) 的生成树打包，其直径为 O((101k log n)D)，边拥挤度至多为 2。
• 对于任意 k-边连通的 n 个顶点、直径为 D 的图，通过边采样以高概率可获得 Ω(k / log n) 条边不相交的生成树，每条树的直径为 O(kD(D+1)/2)。
• 上界近乎紧致：存在一个直径为 2D 的 k-边连通图，使得任何包含 k/α 棵树且拥挤度为 η 的打包，必然包含一棵直径为 Ω((k/(2αηD))^D) 的树。
• 若每对顶点间存在 k 条长度至多为 D 的边不相交路径，则可高效计算出大小为 k、直径为 O(D log n)、拥挤度为 O(log n) 的生成树打包。
• 在边连通性为 n^ε、直径为常数的图中，存在一个 o(√n) 轮的 MST 与近似最小割的分布式算法。
• 存在一个安全广播协议，其运行轮数为 e^O((101k log n)D)，且对可监控 O(k / log n) 条边的敌手具有信息论安全性。