[论文解读] On percolation and the bunkbed conjecture

Svante Linusson|ArXiv.org|Nov 6, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文研究了在乘积图 $G \times K_2$ 上的边渗滤中的 bunkbed 猜想，证明了该猜想在外平面图上的成立，并提出了随机定向图的广义模型。它建立了无向渗滤与有向路径概率之间的联系，表明同一层内顶点间的连通性在随机性上至少与不同层之间的连通性一样可能。

ABSTRACT

We study a problem on edge percolation on product graphs $G imes K_2$. Here $G$ is any finite graph and $K_2$ consists of two vertices $\{0,1\}$ connected by an edge. Every edge in $G imes K_2$ is present with probability $p$ independent of other edges. The Bunkbed conjecture states that for all $G$ and $p$ the probability that $(u,0)$ is in the same component as $(v,0)$ is greater than or equal to the probability that $(u,0)$ is in the same component as $(v,1)$ for every pair of vertices $u,v\in G$. We generalize this conjecture and formulate and prove similar statements for randomly directed graphs. The methods lead to a proof of the original conjecture for special classes of graphs $G$, in particular outerplanar graphs.

研究动机与目标

• 在 $G \times K_2$ 上的边渗滤下，证明外平面图上的 bunkbed 猜想。
• 将 bunkbed 猜想推广到具有非均匀边概率和横截顶点集的模型。
• 在随机定向图中，建立无向渗滤与有向路径存在性之间的对应关系。
• 为有限图定义临界概率 $p^c$，使得同层连通性从较不可能转变为更可能，超过跨层连通性。
• 探讨 bunkbed 图中顶点接近性的直观概念是否在随机边保留下得以保持。

提出的方法

• 引入模型 $E_2^{\mathbb{p},T}$，在固定横截集 $T \subseteq V(G)$ 上条件化垂直边的存在性，并为每条边 $e \in E(G)$ 分配独立概率 $p_e$。
• 证明在 $E_2^{\mathbb{p},T}$ 中，$u_0$ 与 $v_0$ 之间路径存在的概率至少与 $u_0$ 与 $v_1$ 之间一样大，从而为外平面图建立了广义 bunkbed 猜想。
• 引入模型 $D_3^T$，其中边被随机定向，且仅在 $T$ 中的顶点处允许行走方向反转，通过路径概率等价性将其与渗滤模型联系起来。
• 利用对称性和边方向反转，证明 $X(O) = X(O^r)$，从而推出 $F(O) = F(O^r)$，这支持了有向模型中的 bunkbed 性质。
• 通过在 $V(G)$ 的所有子集 $T$ 上取平均，定义临界概率 $p^c$，使用边着色（0层为红色，1层为蓝色），并规定仅在 $T$ 处允许颜色切换。
• 显式计算了路径 $P_k$ 的 $p^c$，得出当 $k=1$ 时 $p^c = 1/3$，当 $k=2$ 时 $p^c = \sqrt{11/12} - 1/2$，且当 $k \to \infty$ 时 $p^c \to 1/2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $G \times K_2$ 上的边渗滤下，bunkbed 猜想对外平面图是否成立？
• RQ2 广义 bunkbed 猜想 $BBC_2^{\mathbb{p},T}(G)$ 是否对所有图 $G$、横截集 $T$ 和概率向量 $\mathbb{p}$ 成立？
• RQ3 是否可以将 $D_3^T$ 中有向路径存在的概率等同于 $E_3^T$ 中无向渗滤的概率？
• RQ4 是否存在一个临界概率 $p^c$，使得当 $p > p^c$ 时，同层连通性在随机性上主导于跨层连通性？
• RQ5 对于长度递增的路径，$p^c$ 的行为如何？它是否收敛于 $1/2$？

主要发现

• 在 $G \times K_2$ 上的边渗滤下，外平面图上的 bunkbed 猜想 $BBC_1^p(G)$ 已被证明为真。
• 当边概率非均匀且垂直边在固定横截集 $T$ 上条件化时，外平面图上的广义 bunkbed 猜想 $BBC_2^{\mathbb{p},T}(G)$ 成立。
• 在模型 $D_3^T$ 中，从 $u_\rightarrow$ 到 $v_\rightarrow$ 的有向路径概率至少与从 $u_\rightarrow$ 到 $v_\leftarrow$ 的概率一样大，支持了有向 bunkbed 猜想。
• 在 $E_3^T$ 中，$u_0$ 到 $v_0$ 的路径概率等于在 $D_3^T$ 中从 $u_\rightarrow$ 到 $v_\rightarrow$ 的有向路径概率，从而在无向与有向模型之间建立了直接等价性。
• 对于路径图 $P_k$，临界概率 $p^c$ 在 $k=1$ 时为 $1/3$，在 $k=2$ 时为 $\sqrt{11/12} - 1/2 \approx 0.457$，且随着 $k \to \infty$ 单调递增趋近于 $1/2$。
• 存在一个临界概率 $p^c$，使得当 $p > p^c$ 时，有 $P_{G}^{p}(u_0 \longleftrightarrow v_0) > P_{G}^{p}(u_0 \longleftrightarrow v_1)$，该猜想成立，且对所有连通图 $G$ 均有 $p^c < 1/2$。