[论文解读] On plane algebroid curves

Valentina Barucci, Marco D’Anna+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 2003

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文為平面代数曲线的经典结果提供了新证明，确立了两个此类曲线形式等价当且仅当它们具有相同的整除序列或值的幺半群。本文刻画了平面分支的幺半群，从参数化推导出幺半群，并利用阿佩里引理和滤子技术证明了平面分支的幺半群环的关联分次环是完全交。

ABSTRACT

Two plane analytic branches are topologically equivalent if and only if they have the same multiplicity sequence. We show that having same semigroup is equivalent to having same multiplicity sequence, we calculate the semigroup from a parametrization, and we characterize semigroups for plane branches. These results are known, but the proofs are new. Furthermore we characterize multiplicity sequences of plane branches, and we prove that the associated graded ring, with respect to the values, of a plane branch is a complete intersection.

研究动机与目标

• 为关于平面代数分支的拓扑与形式等价性的经典结果提供新的、自包含的证明。
• 刻画平面分支可能的整除序列，并证明其与值幺半群的等价性。
• 建立一种直接从参数化计算平面分支值幺半群的方法。
• 证明平面分支的幺半群环的关联分次环是完全交。
• 阐明值幺半群、整除序列与关联分次环的代数结构之间的关系。

提出的方法

• 使用阿佩里引理将平面分支的值幺半群与其爆破联系起来，从而实现幺半群的递归计算。
• 应用魏尔斯特拉斯延拓定理，将局部环表示为单变量形式幂级数环上的模。
• 构造一个模的基，使得每个基元素的赋值生成一个关于基变量赋值的自由模。
• 使用最小生成元的阿佩里集来确定幺半群元素的唯一表示。
• 应用[12, 定理1]，表明幺半群环中的关系由单项式关系生成，从而得出完全交结构。
• 通过定义关系的首项形式分析关联分次环，表明其为完全交。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时两个平面代数分支具有相同的值幺半群，这与它们的整除序列有何关系？
• RQ2 如何直接从参数化计算平面分支的值幺半群？
• RQ3 哪些性质刻画了作为平面分支值幺半群的幺半群？
• RQ4 平面分支的幺半群环的关联分次环是否为完全交？
• RQ5 平面分支的幺半群环的定义关系具有怎样的结构？

主要发现

• 两个平面代数分支形式等价当且仅当它们具有相同的整除序列，这等价于具有相同的值幺半群。
• 平面分支的值幺半群可直接通过阿佩里引理的逐次逼近方法，从其参数化计算得出。
• 平面分支的幺半群具有如下特征：其阿佩里集元素可唯一表示为生成元的组合。
• 平面分支的幺半群环的关联分次环是完全交，其定义关系由形如 $Y_j^{d_{j-1}/d_j} - m_j$ 的单项式生成，其中 $m_j$ 是低次变量的单项式。
• 幺半群的生成函数是由定义关系的次数决定的有理函数，具体为 $\frac{(1-t^{(d_0/d_1)\bar{\delta}_1})\cdots(1-t^{(d_{k-1}/d_k)\bar{\delta}_k})}{(1-t^{\bar{\delta}_0})\cdots(1-t^{\bar{\delta}_k})}$。
• 平面分支的幺半群环是完全交，其关联分次环也是完全交，这由关系的首项形式构成的正则序列所证明。