[论文解读] On precanonical quantization of gravity

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用 18

一句话总结

本文提出了一种基于德东德-外尔哈密顿形式的预正则化量子化方法，用于量子引力，将时空视为对称处理。该方法推导出一个协变的预正则薛定谔方程，适用于克利福德代数值波函数，得到算子值的距离和自连接的跃迁振幅，预测了可能影响大尺度结构的宇宙学自连接的概率分布。

ABSTRACT

Precanonical quantization is based on the mathematical structures of the De Donder-Weyl Hamiltonization of field theories. The resulting formulation of quantum gravity describes the quantum geometry of space-time in terms of operator-valued distances and the transition amplitudes between the values of spin connection at different points of space-time, which obey the covariant precanonical analogue of the Schrödinger equation. In the context of quantum cosmology the theory predicts a probability distribution of a cosmological spin-connection field, which may have an observable impact on the large scale structures in the universe.

研究动机与目标

• 通过消除时空之间在正则形式中的区分，解决量子引力中的时间问题。
• 利用德东德-外尔哈密顿形式，建立一种明显协变的引力量子化框架。
• 推导出诸如算子值距离和自连接值之间跃迁振幅等量子几何可观测量。
• 探讨预正则化量子化在量子宇宙学中的影响，特别是宇宙学自连接场的概率分布。
• 检验自连接的预测量子涨落是否可能在大尺度宇宙结构上留下可观测的痕迹。

提出的方法

• 采用德东德-外尔（DW）哈密顿形式对引力进行表述，通过多动量和DW哈密顿函数对时空变量实现对称处理。
• 引入多辛结构，并在微分形式上定义泊松括号，从而推广泊松代数为格伦斯坦哈伯代数。
• 通过克利福德代数值算子对基本括号进行量子化，用于多动量和(n-1)形式，其中一个具有量纲的参数$μkappa$被解释为一个空间量子。
• 推导出预正则薛定谔方程：$i\hbar\varkappa\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi = \widehat{H}\Psi$，其中$\Psi$为克利福德代数值波函数。
• 将该形式应用于量子宇宙学，通过将方程约化为具有调和时间的4维平坦FLRW度规，得到自连接变量$\omega$的径向型方程。
• 通过变量分离法求解约化方程，得到自连接振幅的概率密度$\rho(\omega) \sim (9\omega^{2} + \bar{q}q)^{-c/3}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不偏袒时间的前提下，建立一种明显协变的引力量子化形式，从而解决时间问题？
• RQ2 预正则化方法预测的量子几何可观测量（如距离和跃迁振幅）是什么？
• RQ3 预正则薛定谔方程在经典极限下如何重现经典场方程和哈密顿-雅可比方程？
• RQ4 预正则化量子化引力是否预测了非平凡的宇宙学自连接场概率分布，可能影响大尺度结构？
• RQ5 若将参数$\varkappa$解释为一个空间量子，其是否可与普朗克尺度或宇宙学常数相关联，对量子场论中的紫外截断有何影响？

主要发现

• 预正则薛定谔方程为自连接生成了协变的量子动力学，实现了不同时空点间自连接值之间的跃迁振幅。
• 度规张量为算子值：$\widehat{g^{\mu\nu}} = -\hbar^{2}\varkappa^{2}\kappa_{E}^{2}\eta^{IJ}\eta^{KL}\frac{\partial^{2}}{\partial\omega^{IK}_{\mu}\partial\omega^{JL}_{\nu}}$，暗示了时空的量子几何。
• 在量子宇宙学中，解给出自连接场的概率密度$\rho(\omega) \sim (9\omega^{2} + \bar{q}q)^{-c/3}$，可解释为量子涨落或量子宇宙的分布。
• 方程中的有效宇宙学常数$c$包含一项$\Lambda/({\hbar\varkappa\kappa_{E}})^{2}$，暗示$\varkappa$与紫外截断尺度之间存在关联。
• 该模型预测宇宙学常数并非仅由纯量子引力的基态引起，因为$\varkappa$与紫外截断相关，而非仅与真空能量有关。
• 波函数的可归一化性意味着量子奇点的避免，因为$\Psi$在$\omega$较大时趋于零，对应于高时空曲率。