[论文解读] On a generalization of the Dirac bracket in the De Donder-Weyl Hamiltonian formalism

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用 14

一句话总结

本文将狄拉克括号推广至退化拉格朗日场论的德唐德-韦勒（De Donder-Weyl, DW）哈密顿形式，将约束动力学扩展至多辛场论。它为哈密顿 $(n-1)$-形式引入了一种类狄拉克括号，该括号在第二类约束下保持泊松-格伦斯坦哈伯代数结构，确保约束弱化为零，且括号满足反对称性与广义雅可比恒等式。

ABSTRACT

The elements of the contrained dynamics algorithm in the De Donder-Weyl (DW) Hamiltonian theory for degenerate Lagrangian theories are discussed. A generalization of the Dirac bracket to the DW Hamiltonian theory with second class constraints (defined in the text) is presented.

研究动机与目标

• 将狄拉克括号形式化推广至退化拉格朗日场论的德唐德-韦勒哈密顿框架。
• 解决标准正则性条件失效的场论中约束动力学的挑战，例如旋量场的情形。
• 在哈密顿 $(n-1)$-形式上定义一个一致的括号运算，尊重第二类约束并保持代数封闭性。
• 为场论的显式时空对称预典范量子化提供经典基础。
• 通过Lepage等价物与约束变分法，探索广义括号的几何解释。

提出的方法

• 将点粒子力学中的狄拉克括号构造方法适配至德唐德-韦勒形式的多辛设定。
• 利用泊松-格伦斯坦哈伯括号与约束括号矩阵 $\mathfrak{C}_{mn}^{-1}$ 的逆，定义哈密顿 $(n-1)$-形式的广义狄拉克括号。
• 引入修正的括号公式：$\{[F,G]\}^D = \{[F,G]\} - \sigma \{[F,\mathfrak{C}_m]\} \bullet (\mathfrak{C}_{mn}^{-1} \wedge \{[\mathfrak{C}_n,G]\})$，其中 $\sigma$ 为符号因子。
• 通过约束闭包导出的条件 $\{[F^\prime,\mathfrak{C}_k]\} \approx 0$，确保括号与约束弱化为零。
• 利用莱布尼茨型性质将括号扩展至 0-形式：$\{[F,kG]\}^D = \{[F,k]\}^D G + k \{[F,G]\}^D$，保持代数一致性。
• 依赖模竖直形式的微分形式等价类，确保多辛结构中规范不变性与联络无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄拉克括号形式化如何推广至退化场论的德唐德-韦勒哈密顿形式？
• RQ2 在具有第二类约束的多辛场论中，约束动力学的合适代数结构是什么？
• RQ3 泊松-格伦斯坦哈伯括号能否被修改，以确保约束弱化为零，同时保持反对称性与雅可比恒等式？
• RQ4 广义狄拉克括号在乘以 0-形式或 $n$-形式时的行为如何？是否满足莱布尼茨型法则？
• RQ5 该构造能否通过Lepage等价物或变分法中的约束卡坦形式进行几何解释？

主要发现

• 广义狄拉克括号 $\{[F,G]\}^D$ 定义于哈密顿 $(n-1)$-形式上，并满足弱反对称性：$\{[F,G]\}^D \approx -\{[G,F]\}^D$。
• 括号满足广义雅可比恒等式：$\{[\{[F,G]\}^D,K]\}^D + \{[\{[G,K]\}^D,F]\}^D + \{[\{[K,F]\}^D,G]\}^D \approx 0$。
• 任意哈密顿 $(n-1)$-形式与第二类约束的狄拉克括号弱化为零：$\{[F^\prime,\mathfrak{C}_k]\} \approx 0$，确保约束被保持。
• 括号满足与 0-形式的莱布尼茨性质：$\{[F,kG]\}^D = \{[F,k]\}^D G + k \{[F,G]\}^D$ 与 $\{[F,kl]\}^D = \{[F,k]\}^D l + k \{[F,l]\}^D$，将一致性扩展至乘积。
• 由于使用模竖直形式的等价类，该构造与联络选择及代表形式的选择无关。
• 该形式化适用于奇异场论，如狄拉克旋量场，其在德唐德-韦勒意义下为退化，但可容纳第二类约束。